Topologia: numerabile di seconda specie ma non Hausdorff

[HiTLeuLeR]

Boh, speriamo che questo abbia più successo dell'altro...

Esibire l'esempio di uno spazio topologico che sia numerabile di seconda specie ma non Hausdorff.

Ricordo per completezza che uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ si dice

- numerabile di seconda specie se la topologia possiede una base numerabile di aperti;

- di Hausdorff se, comunque scelti due punti distinti $ u, v \in \mathcal{S} $, esistono disgiunti $ U, V\in \mathcal{S} $ tali che $ u \in U $ e $ v\in V $.

[moebius]

A prima botta...
Se prendiamo come topologia su $ \mathbb{R} $ la topologia che ha per base le palle (aperte) di centro 0 e raggio $ \frac{1}{n} $ con $ n \in \mathbb{N} $ non si riesce a separare lo 0 da un qualsiasi altro punto perchè ogni aperto della topologia lo contiene.
Mi sembra troppo facile... Avrò detto una boiata.

[HiTLeuLeR]

Sì, l'esempio funziona! Soltanto che dovresti fissare giusto un piccolo particolare: la famiglia $ \mathcal{B} $ di tutte le palle aperte di centro $ 0 $ e raggio $ \displaystyle\frac{1}{n} $, con $ n\in\mathbb{N} $ (qui l'insieme degli interi positivi), non può certo rappresentare una base topologica di $ \mathbb{R} $, visto che $ \bigcup_{U \in \mathcal{B}} U =\; ]-1,1[ \;\neq \mathbb{R} $. Ma basta completare $ \mathcal{B} $ includendo $ \mathbb{R} $ fra gli elementi dell'insieme per tirarsi prontamente fuori d'impiccio... My regards, moebius!

EDIT: ehmmm...

[HiTLeuLeR]

Btw, avevo pensato a qualcosa di completamente diverso, per cui...

Provare che la famiglia $ \mathcal{O} = \{\emptyset\} \cup \{A \subseteq \mathbb{Z}: 0 \in A\} $ definisce una topologia sull'insieme degli interi, e quindi mostrare che $ (\mathbb{Z}, \mathcal{O}) $ è uno spazio topologico numerabile di seconda specie ma non Hausdorff.

[moebius]

Si in effetti mi sono allargato... succede quando si scrive senza pensare
Sostituiamo $ \mathbb{R} $ con $ \left(-1, 1\right) $ e non pensiamoci più

P.S.: $ \bigcup_{U \in \mathcal{B}} U = ]\mathbf{-1},1[ \;\!\neq \mathbb{R} $

[HiTLeuLeR]

Provare che la famiglia $ \mathcal{O} = \{\emptyset\} \cup \{A \subseteq \mathbb{Z}: 0 \in A\} $ definisce una topologia sull'insieme degli interi, e quindi mostrare che $ (\mathbb{Z}, \mathcal{O}) $ è uno spazio topologico numerabile di seconda specie ma non Hausdorff.

Deh, solo adesso me ne avvedo! Questo stesso esempio prova pure l'esistenza di uno spazio di Kolmogorov che tuttavia non sia di specie $ \mbox{T}_1 $. Oh, sempre meglio del classico esempio del menga suggerito da certi testi di topologia...