Questo quesito mi é venuto in mente pensando ad un disegno che molti miei coetanei fanno sul diario(é proprio bello).
Prendete un foglio a quadretti e segnate due segmenti perpendicolari di ,diciamo, dieci quadretti.Poi fate una tacca per ogni quadretto e numerateli a partire dall'origine.Infine tracciate i segmenti (0-10)(0-0) (0-9)(1-0) (0-8)(2-0) (0-7)(3-0)
,considerando i due segmenti principali come assi x e y.Capito ciò che intendo?
Otterrete una curva vagamente simile ad un asteroide.Per la precisione é la curva la cui tangente in un punto qualsiasi ha gli zeri nei punti (0,a)(b,0) tali che a+b=k.
Ma allora qual'é l'equazione della curva?Proprio non é un asteroide.Vi spedirò un'immagine esemplificatrice quanto prima.E' notevole anche ossevare la curva quando i due assi non sono perpendicolari.
Caro diario ti voglio parlare...
Caro diario...
Caro diario...
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Intendi una cosa del genere?
Quando l'ho visto per la prima volta lavoravo ancora con carta e matita e sospettavo che fosse una circonferenza, ma una banale prova col compasso mi ha fatto cambiare idea.
L'asteroide in effetti esteticamente è molto simile, ma si basa su un principio diversissimo: ogni segmento a la stessa lunghezza, qui invece sposto gli estremi dello stesso intervallo.
Non saprei quale curva sia, io col tempo ed un po' di pazienza mi sono sbizzarrito con variazioni sul tema, modificando l'angolo, come suggerisci, ma anche il rapporto fra i due segmenti. Questa cosa venne da sé quando provai a lavorare in un triangolo 90-45-45 per rispettare la quadrettatura. Arrivai a composizioni sempre più elaborate fino all'A3, mettendoci parecchie ore.
Poi ho scoperto il computer e Cabri Géomètre ed ora mi bastano 3 click, a prescindere dalla forma che voglio dare al reticolo (questo è il nome che ho sempre usato io).
Ma non ho mai approfondito gli aspetti matematici che generano tanta bellezza.
Quando l'ho visto per la prima volta lavoravo ancora con carta e matita e sospettavo che fosse una circonferenza, ma una banale prova col compasso mi ha fatto cambiare idea.
L'asteroide in effetti esteticamente è molto simile, ma si basa su un principio diversissimo: ogni segmento a la stessa lunghezza, qui invece sposto gli estremi dello stesso intervallo.
Non saprei quale curva sia, io col tempo ed un po' di pazienza mi sono sbizzarrito con variazioni sul tema, modificando l'angolo, come suggerisci, ma anche il rapporto fra i due segmenti. Questa cosa venne da sé quando provai a lavorare in un triangolo 90-45-45 per rispettare la quadrettatura. Arrivai a composizioni sempre più elaborate fino all'A3, mettendoci parecchie ore.
Poi ho scoperto il computer e Cabri Géomètre ed ora mi bastano 3 click, a prescindere dalla forma che voglio dare al reticolo (questo è il nome che ho sempre usato io).
Ma non ho mai approfondito gli aspetti matematici che generano tanta bellezza.
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"
Se sai fare un integrale, l'equazione della curva è facile da trovare... Non saprei proprio come ottenerla in maniera elemetare (senza calcolo differenziale intendo)
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
Più che un integrale serve una derivata.moebius ha scritto:Se sai fare un integrale, l'equazione della curva è facile da trovare...
Infatti la curva cercata consiste nell'inviluppo delle rette di equazione:
x/a +y/(k - a) = 1
Derivando rispetto ad a ed inserendo il risultato (a = sqrt(kx)) nell'equazione della retta si ottiene la curva inviluppo:
y = (sqrtk - sqrtx)^2.
Grazie MaMo
Ma facendo un paio di calcoli si arriva a questa forma: $ \left( x-y \right)^{2}-2k\left( x+y \right)+k^{2}=0 $ che se non erro sembra una parabola (ad essere sincero più che dalla forma lo vedo dal disegno).
Allora mi chiedo se cambiando i due parametri (angolo fra i due assi e rapporto delle lunghezze dei segmenti da cui si era partiti) non si otengono altre coniche. E ad occhio mi rispondo di sì, perché cambiare quei parametri vuol dire applicare trasformazioni che mandano coniche in coniche.
Ovviamente non è detto che si possano ottenere tutte le coniche, anzi il serio sospettto e che si ottengano soltanto delle parabole. Qualcuno può confermarmelo?
Ma facendo un paio di calcoli si arriva a questa forma: $ \left( x-y \right)^{2}-2k\left( x+y \right)+k^{2}=0 $ che se non erro sembra una parabola (ad essere sincero più che dalla forma lo vedo dal disegno).
Allora mi chiedo se cambiando i due parametri (angolo fra i due assi e rapporto delle lunghezze dei segmenti da cui si era partiti) non si otengono altre coniche. E ad occhio mi rispondo di sì, perché cambiare quei parametri vuol dire applicare trasformazioni che mandano coniche in coniche.
Ovviamente non è detto che si possano ottenere tutte le coniche, anzi il serio sospettto e che si ottengano soltanto delle parabole. Qualcuno può confermarmelo?
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"
E' eccome una parabola,per l'esattezza una parabola di Lamé,sempre bitangente agli assi.
Le curve di Lamé sono date dall'equazione $ (x/a)^m + (y/b)^m=1 $.
Nel caso,m é minore di 1 e dato dal rapporto p/q,con p dispari e q pari.
Ma l'equazione di MaMo non mi sembra di questo tipo.
Resterebbe da indagare il campo degli assi non ortogonali.
Ciao!
Le curve di Lamé sono date dall'equazione $ (x/a)^m + (y/b)^m=1 $.
Nel caso,m é minore di 1 e dato dal rapporto p/q,con p dispari e q pari.
Ma l'equazione di MaMo non mi sembra di questo tipo.
Resterebbe da indagare il campo degli assi non ortogonali.
Ciao!
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Ovvìa ragazzi, vi fate fregare da una parabola? Facciamo un piccolo ripasso sulle coniche.
L'equazione della conica generica su un piano cartesiano è
$ a x^2 + b xy + c y^2 + dx + ey + f = 0 $.
Come vedete non è nulla più, nulla meno, di un polinomio completo di secondo grado in x e y.
Attenzione!! Quell'equazione vi dà tutte le coniche. E quando dico "tutte" intendo proprio TUTTE. Quindi anche le coniche degeneri: l'insieme vuoto, un punto, una retta, due rette parallele [un'ellisse con un semiasse infinito???] due rette incidenti [un'iperbole con asse trasverso nullo???] e schifezze simili.
Quando però quella roba è una conica genuina, è facilissimo scoprire di che bestia si tratta, dando un'occhiata ai coefficienti.
In generale, i termini di secondo grado (i primi tre) stabiliscono la forma della conica (e decidono se si tratta di parabola, ellisse o iperbole); gli altri termini stabiliscono la centratura (nel senso che traslando la figura, i termini di seconod grado non cambiano). Inoltre il termine rettangolare [il secondo, quello in xy] è importante perché se manca, allora la conica ha gli assi [l'asse] di simmetria paralleli agli assi cartesiani.
Facendo il classico discriminante del polinomio di secondo grado, $ \Delta = b^2 - 4ac $ si scopre la forma della conica. Se è positivo, risulta un'iperbole, se è negativo, un'ellisse, se nullo una parabola. Quest'ultimo, è il caso del nostro problema. E quindi: dato che l'eqz risultante è di secondo grado, deve essere una conica (alla peggio, una conica degenere). Dato che il discriminante è zero, deve essere una parabola (ev. degenere...).
L'equazione della conica generica su un piano cartesiano è
$ a x^2 + b xy + c y^2 + dx + ey + f = 0 $.
Come vedete non è nulla più, nulla meno, di un polinomio completo di secondo grado in x e y.
Attenzione!! Quell'equazione vi dà tutte le coniche. E quando dico "tutte" intendo proprio TUTTE. Quindi anche le coniche degeneri: l'insieme vuoto, un punto, una retta, due rette parallele [un'ellisse con un semiasse infinito???] due rette incidenti [un'iperbole con asse trasverso nullo???] e schifezze simili.
Quando però quella roba è una conica genuina, è facilissimo scoprire di che bestia si tratta, dando un'occhiata ai coefficienti.
In generale, i termini di secondo grado (i primi tre) stabiliscono la forma della conica (e decidono se si tratta di parabola, ellisse o iperbole); gli altri termini stabiliscono la centratura (nel senso che traslando la figura, i termini di seconod grado non cambiano). Inoltre il termine rettangolare [il secondo, quello in xy] è importante perché se manca, allora la conica ha gli assi [l'asse] di simmetria paralleli agli assi cartesiani.
Facendo il classico discriminante del polinomio di secondo grado, $ \Delta = b^2 - 4ac $ si scopre la forma della conica. Se è positivo, risulta un'iperbole, se è negativo, un'ellisse, se nullo una parabola. Quest'ultimo, è il caso del nostro problema. E quindi: dato che l'eqz risultante è di secondo grado, deve essere una conica (alla peggio, una conica degenere). Dato che il discriminante è zero, deve essere una parabola (ev. degenere...).
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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