funzioni continue mai derivabili: maggioranza topologica

[rargh]

Mi è stato detto che le funzioni continue mai derivabili sono in senso topologico la "stragrande maggioranza" delle funzioni continue. Ho cercato di verificare quest'affermazione. Cioè, se per esempio, parliamo delle curve continue in $ \mathbb{R}^2 $, se si costruisce la curva "mettendo i punti a caso", facendo in modo però di costruire una curva continua, la probabilità che venga derivabile almeno in un punto è 0.
Supponiamo di avere fissato un punto P della curva nel piano. Sia S la regione in cui sta la curva, F la frontiera. Sia d(Q,P) la distanza tra un punto Q e P, e $ \[ D = \inf (d(Q,P)\left| {Q \in F)} \right. \] $.
Allora, esiste un valore R<D tale che, per ogni circonferenza di raggio r<=R centrata in P, la probabilità che ci siano almeno due punti della curva su questa circonferenza è sempre 1. Questa è la condizione necessaria e sufficiente per la continuità della curva nel punto P (credo almeno, verificate).
Ora, prendiamo un determinato raggio r. Possiamo definire la posizione di due punti A e B su di essa tramite gli angoli x e y. Sia f(x,y,r) la distribuzione di probabilità.
La nostra condizione di continuità è quindi:
$ \[ \int\limits_0^{2\pi } {\left( {\int\limits_0^{2\pi } {f(x,y,r)dx} } \right)} dy = 1 \] $


Sia T(r) la probabilità che P stia sul segmento congiungente A e B, e quindi che:
$ \[ T(r) = P(y = x \pm \pi )(r) \] $

La probabilità che la curva sia derivabile nel punto P sarebbe il limite per r tendente a 0 di T(r). Ora notiamo che:
$ \[ \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} f(x,y,r) = \left( {\frac{1}{{2\pi }}} \right)^2 \] $

Quindi:

$ \[ P(derivabile) = \mathop {\lim }\limits_{r \to 0} T(r) = 0 \] $

Aspetto correzioni. Ciao