successione(2)

[frengo]

sia data la succcessione definita per ricorrenza

$ b_{n+1}=(n+1)b_n - nb_{n-1} $

con $ b_1 $ e $ b_2 $ numeri interi relativi.

dimostrare che per ogni intero $ k $ la successione $ mod $ $ k $ diventa costante da un certo punto in poi.

P.S. come prima...ESCLUSIVAMENTE per liceali...ciao ciao

[what]

Se troviamo $ b_i\equiv b_{i-1} \pmod k $, allora è facile vedere che di lì in poi la successione è costante mod k.
Infatti $ b_{i+1}=b_i+i(b_i-b_{i-1})\equiv b_i \pmod k $

Ma basta notare che $ b_{k+1}=(k+1)b_k-kb_{k-1}\equiv b_k \pmod k $.

[frengo]

perfetto. io invece avevo notato che

$ b_{n+1}-b_n=n(b_n-b_{n-1}) $

quindi che

$ \displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{n!}{2}(b_2-b_1) $

e quindi la "successione differenza" modulo un qualsiasi k diventa da un certo punto in poi $ \equiv0 $, cioè la tesi.