Spostato da MNE in fisica. --federico
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Non so se posto nel posto giusto...
Determinare la durata del giorno in un punto che si trova a latitudine alfa il solstizio d'estate.
Giorno
Allora, intanto diamo un po'di lettere:
$ \alpha $ è la latitudine
$ \gamma $ è l'inclinazione del piano dell'eclittica e vale circa 23 gradi 27 primi
Dunque, nel giorno del solstizio d'estate se $ \alpha $ è maggiore di 66 gradi e 33 primi il giorno dura 24 ore perchè il sole non tramonta mai, mentre se è minore di - 66 gradi e 33 primi è sempre notte.
Ora non so se riesco a spiegarmi, avrei bisogno di una figura....
Guardiamo la terra di fianco, in modo che il circolo d'illuminazione appaia come un segmento inclinato di $ \gamma $ rispetto all'asse terrestre.
La distanza tra il centro della terra e la proiezione del punto sull'asse del mondo vale $ R sen \alpha $.
Cosideriamo ora il triangolo rettangolo avente per vertici il centro della terra, il punto di proiezione poco fa considerato e l'intersezione del prolungamento della proiezione del punto in superficie con il circolo d'illuminazione (esattamente: con il piano individuato dal circolo d'illuminazione): il cateto non noto ha valore $ R sen \alpha tan \gamma $ e lo chiamiamo $ k $.
Ora facciamo un cambiamento di prospettiva: guardiamo la terra dal polo nord, sezionandola in corrispondenza del punto dato: vedremo una circonferenza di raggio $ R cos \alpha $. Il punto vede il sole finchè è dalla parte del sole rispetto al circolo d'illuminazione, il che avviene se non appartiene all'arco di ampiezza angolare $ x $. Ma da quanto detto in precedenza, sappiamo che $ R cos\alpha cos(x/2) = k = R sen \alpha tan \gamma $ quindi $ x = 2 arccos (tg \alpha tg \gamma) $.
Vale la proporzione $ 360/(360-x) = 24/d $ dove d è la durata del giorno in ore. Risolvendo:
$ d = 24 - \frac{2 arccos(tg \alpha tg \gamma}{15} $.
Per le nostre latitudini si ottiene circa 15 ore, il che è verosimile.
All'equatore d=12.
Nell'emisfero australe d < 12.
Complimenti se avete avuto la pazienza di seguirmi fin qui.
Ciao
SD: certo che come problema non è molto fisico, forse è + geometria...
$ \alpha $ è la latitudine
$ \gamma $ è l'inclinazione del piano dell'eclittica e vale circa 23 gradi 27 primi
Dunque, nel giorno del solstizio d'estate se $ \alpha $ è maggiore di 66 gradi e 33 primi il giorno dura 24 ore perchè il sole non tramonta mai, mentre se è minore di - 66 gradi e 33 primi è sempre notte.
Ora non so se riesco a spiegarmi, avrei bisogno di una figura....
Guardiamo la terra di fianco, in modo che il circolo d'illuminazione appaia come un segmento inclinato di $ \gamma $ rispetto all'asse terrestre.
La distanza tra il centro della terra e la proiezione del punto sull'asse del mondo vale $ R sen \alpha $.
Cosideriamo ora il triangolo rettangolo avente per vertici il centro della terra, il punto di proiezione poco fa considerato e l'intersezione del prolungamento della proiezione del punto in superficie con il circolo d'illuminazione (esattamente: con il piano individuato dal circolo d'illuminazione): il cateto non noto ha valore $ R sen \alpha tan \gamma $ e lo chiamiamo $ k $.
Ora facciamo un cambiamento di prospettiva: guardiamo la terra dal polo nord, sezionandola in corrispondenza del punto dato: vedremo una circonferenza di raggio $ R cos \alpha $. Il punto vede il sole finchè è dalla parte del sole rispetto al circolo d'illuminazione, il che avviene se non appartiene all'arco di ampiezza angolare $ x $. Ma da quanto detto in precedenza, sappiamo che $ R cos\alpha cos(x/2) = k = R sen \alpha tan \gamma $ quindi $ x = 2 arccos (tg \alpha tg \gamma) $.
Vale la proporzione $ 360/(360-x) = 24/d $ dove d è la durata del giorno in ore. Risolvendo:
$ d = 24 - \frac{2 arccos(tg \alpha tg \gamma}{15} $.
Per le nostre latitudini si ottiene circa 15 ore, il che è verosimile.
All'equatore d=12.
Nell'emisfero australe d < 12.
Complimenti se avete avuto la pazienza di seguirmi fin qui.
Ciao
SD: certo che come problema non è molto fisico, forse è + geometria...
Non è finita
Generalizzando per ogni periodo dell'anno:
consideriamo il sistema di riferimento equatoriale. Lo scopo è quello di calcolare in funzione della data la declinazione del Sole, così da ottenere l'angolo $ \gamma $, che sarà comunque compreso tra 23°27' e -23°27'.
Ora arriva la parte di geometria solida.....
Indico con $ \lambda $ l'unità astronomica e con $ \beta $ l'angolo 23°27'.
L'eclittica è una circonferenza massima sulla sfera celeste (vero?) inclinata di 23°27' rispetto all'equatore celeste, e il Sole la percorre con periodo T=365d. Poniamoci in osservazione sul piano dell'eclittica: la proiezione del Sole sul segmento che vediamo dista dal centro una distanza $ l = \lambda sen(\frac{2\pi}{T} t) $ e la sua "componente" perpendicolare all'equatore vale $ l sen\beta $. Si tratta ora di calcolare l'angolo sotto cui è visto tale segmento dal centro della sfera, e facilmente si trova che $ \gamma = arcsen \frac{l sen\beta}{\lambda} = arcsen ( sen(\frac{2\pi}{T} t) sen\beta ) $.
Pertanto risulta la seguente formula orribile:
$ d = 24 - \frac{2}{15} arccos ( tg\alpha tg (arcsen ( sen(\frac{2\pi}{T} t) sen\beta )) $.
Si specifica che t rappresenta il tempo trascorso dall'utimo equinozio di primavera. E attenzione anche quando si calcolano le funzioni trigonometriche, alle u.d.m.!!
Ciao
consideriamo il sistema di riferimento equatoriale. Lo scopo è quello di calcolare in funzione della data la declinazione del Sole, così da ottenere l'angolo $ \gamma $, che sarà comunque compreso tra 23°27' e -23°27'.
Ora arriva la parte di geometria solida.....
Indico con $ \lambda $ l'unità astronomica e con $ \beta $ l'angolo 23°27'.
L'eclittica è una circonferenza massima sulla sfera celeste (vero?) inclinata di 23°27' rispetto all'equatore celeste, e il Sole la percorre con periodo T=365d. Poniamoci in osservazione sul piano dell'eclittica: la proiezione del Sole sul segmento che vediamo dista dal centro una distanza $ l = \lambda sen(\frac{2\pi}{T} t) $ e la sua "componente" perpendicolare all'equatore vale $ l sen\beta $. Si tratta ora di calcolare l'angolo sotto cui è visto tale segmento dal centro della sfera, e facilmente si trova che $ \gamma = arcsen \frac{l sen\beta}{\lambda} = arcsen ( sen(\frac{2\pi}{T} t) sen\beta ) $.
Pertanto risulta la seguente formula orribile:
$ d = 24 - \frac{2}{15} arccos ( tg\alpha tg (arcsen ( sen(\frac{2\pi}{T} t) sen\beta )) $.
Si specifica che t rappresenta il tempo trascorso dall'utimo equinozio di primavera. E attenzione anche quando si calcolano le funzioni trigonometriche, alle u.d.m.!!
Ciao