un esagono regolare di area $ E $ ha i vertici che giacciono su un poligono convesso di area $ P $.
Dimostrare che $ P\leq\frac{3}{2}E $
EDIT:come promesso, è stato tolto il divieto per i non-liceali....spero che nessuno esageri.
esagono/triangolo
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prolinghiamo i lati dell'esagoo e otteniamo 6 triangolo equilateri che hanno che hanno in somma la stessa orea dell'esagono di base. Il poligono per avere area massima deve assere un'esagono, poichè se fosse un poligono convesso con più di sei vertici si potrebbe sempre costrire un'esagono con area superiore al poligono, mantenendo la proprietà, prolungando i lati che passano per i vertici dell'esagono di base. Ora affinchè la tesi sia vera ci basta dimostrare che l'esagono ettenuto oltre che occupare quello di partenza non occupi più della metà della somma delle aree dei triangoli equilateri detti in precedenza. Per dimostrarlo consideriamo due triangoli equilateri su due lati consecutivi dell'esagono di partenza, in ognuno di essi c'è un triangolo con base il lato dell'esagono di partenza in modo che due lati siano alliniati (essendo parti dello stesso lato dell'esagono). Esaminiamo il caso in cui un triangolo abbia ara superiore al triangolo equilatero e quindi abbia l'altezza maggiore della metà di quello equilatero (poichè il caso con entrambi di area minore non è influente). In questo caso l'altezza dell'altro triangolo potrà chiaramente essere al massimo la distanza dell'intersezione tra la retta dei due lati in comune e il lato del triangolo equilatero. Ma la somma di questa distanza con l'altezza del triangolo precedente non supera l'altezza del triangolo equilatero poichè anchè l'altezza precedente assumeva il valore massimo nell'intersezione della retta col lato del triangolo e anche in questa che è la migliore delle ipotesi, la somma risula chiaramente uguale all'altezza del triangolo equilatero e la somma delle aree uguale alla metà della somma delle due aree dei triangoli equilateri. Ripetendo il procedimento per altre due coppie di triangoli equilateri il gioco è fatto.