Ciao!
Penso di non sbagliarmi a dire che sei il più giovane utente del forum (anche perchè, essendo il forum delle olimpiadi di matematica, buona parte degli utenti sono delle scuole superiori e l'altra parte ancora più vecchi); spero quindi che l'anno prossimo sarai attivo partecipante alle olimpiadi.
Veniamo alla tua domanda ... e vediamo se riesco a farmi capire :
Perdonami se non vengo subito al sodo ma mi piace chiacchierare.
Tutto viene dal saper risolvere le equazioni : all'inizio ovviamente erano tutte legate a pratici problemi di conteggio, ad esempio, sapendo che prima avevo 10 ed ora ho 12, quanto ho guadagnato? Poi qualcuno (dannato lui!) inventò debiti e cambiali e vennero i numeri negativi per risolvere cose del tipo
$ x+9=0 $
Col passare del tempo si iniziarono a misurare le cose con sempre maggior precisione e si dovette procedere a dividere le unità di misura, sapendo quindi, ad esempio, che una certa lunghezza x era tale che, aggiunta 4 volte a se stessa, faceva un metro, ovvero si giunse a risolvere equazioni del tipo
$ 4x-1=0 $
e in questo modo arrivarono anche i numeri razionali.
Infine a qualcuno vennero in mente le diagonali del quadrato e ci si trovò davanti a $ x^2=2 $ .... piano piano, si arrivò al concetto di numeri reali.
I numeri complessi entrano in gioco per ovviare ad un problema fondamentale dei numeri reali : il quadrato di un numero reale, per quanto tu ti possa sforzare a cercarlo diversamente, sarà sempre positivo o al più nullo.
Questo significa che equazioni del tipo $ x^2+1=0 $ non hanno una soluzione; qualcuno si disse : "Beh, aggiungiamo ai numeri reali dei numeri inventati (immaginari) che abbiano proprio questa proprietà : il loro quadrato sia un numero reale negativo" ...
C'era un problema, però : i numeri reali sono tanto comodi perchè li puoi sommare e sottrarre e per ogni numero ne esiste un altro che ne è l'opposto, inoltre li puoi dividere e moltiplicare e per ogni numero, escluso lo zero, ne esiste un altro che ne è il reciproco. Queste proprietà sono comode e si voleva continuare a poterle usare ... qualcuno per fortuna si accorse che si poteva "imbrogliare" nel seguente modo :
consideriamo le "cose" della forma $ a+ib $ dove a,b sono numeri reali e i è un simbolo (un po' come la x nelle equazioni) che ha questa proprietà : $ i\cdot i=i^2=-1 $; su questi "oggetti" definiamo le 4 operazioni così:
$ (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(d+b) $
$ (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d) $
$ (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+cb) $
$ (a+ib)/(c+id)=\frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+i\frac{(cb-ad)}{c^2+d^2} $
Vorrei farti notare che i è solo un simbolo ... se la x non fosse così abusata, potremmo usare lei o potremmo usare una faccina
se non fosse un po' scomodo da scrivere.
Inoltre, il prodotto di due numeri di questa forma (detti numeri complessi) assomiglia molto al modo in cui si farebbe il prodotto di due polinomi :
$ (a+xb)(c+xd)=ac+x(cb+ad)+x^2bd $
ma noi abbiamo "deciso" che $ x^2=-1 $ e dunque l'espressione diventa proprio quello che ho scritto sopra.
Per calcolare la divisione, prima bisogna calcolare l'inverso, il reciproco di un numero complesso e qui ci vuole un trucchetto ... sai trovarlo?
Cmq, per venire al succo della tua domanda :
$ i^0=1 $ ogni numero elevato a 0 fa 1 nei reali ed è meglio che sia così anche nei complessi : $ x^0=x^1x^{-1}=\frac{x}{x}=1 $
$ i^1=i $ e questo è pacifico
$ i^2=i\cdot i=-1 $ beh, l'abbiamo scelto apposta ...
$ i^3=i^2\cdot i=(-1)i=-i $
$ i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1 $
ed ora siamo daccapo : se moltiplichiamo ancora per i e facciamo alla 5, è come moltiplicare 1 per i, quindi elevare alla 1.
Questa è effettivamente una cosa a prima vista strana dei numeri complessi : nei reali i numeri
$ x,x^2,x^3,x^4,\ldots $
sono sempre tutti diversi oppure sono tutti uguali, nel caso in cui x=1 o x=0 ... al limite saltellano tra 1 e -1 se x=-1.
Invece, nei numeri complessi ci sono questi simpatici numeretti che, continuando a elevarli a potenze successive, tornano se stessi ... puoi provare a fare i conti con il numero $ \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $ e vedere dopo quanto torna a 1 (e quindi, in definitiva, dopo quanto torna se stesso, visto che, anche nei complessi, 1*a=a e dunque se 1=a^n, a=a^(n+1)).
Questo è il motivo per cui si dice che le potenze di i hanno un ciclo.
Ora, non so se ti possa aiutare una visione geometrica della cosa, ma nel dubbio te la espongo : spero che tu sappia (nonostante tutto il male che dici del tuo insegnante di matematica) cos'è il piano cartesiano, quello in cui i punti sono descritti dalle loro coordinate, ascissa e ordinata, x e y.
Fai questo giochino : prova a vedere il numero complesso a+ib come il punto del piano (a,b) e fai i seguenti esperimenti
1. cosa succede ad un punto se si moltiplica per i il corrispondente numero complesso?
2. cosa succede ad un punto se si moltiplica per un qualunque numero reale t il corrispondente numero complesso?
3. cosa succede ad un punto se si moltiplica per $ \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} $ il corrispondente numero complesso?
4. quali sono i punti che corrispondono quindi alle potenze di i, quali invece quelli che corrispondono alle potenze dell'altro numero?
5. riesci ad indovinare cosa succede moltiplicando due numeri complessi? quale punto del piano si ottiene?
spero di aver risposto ai tuoi dubbi e di essere stato un minimo interessante.
(ma defi di un prof, se ho calcolato la dimensione in m³ del parallelepipedo ke contiene la nostra gallassia non sono in grado di capire???)
