Traduco Goldbug con baco, probabilmente vuole dire altro
Trova un esempio 2 x 2 per il quale il sistema (con rotazioni cosuali) vada avanti all'infinito...
Se un baco può scegliere (oppure se le mosse sono casuali ) da che parte girarsi (sempre di 90°) posso trovare una serie di configurazioni che si possono ripetono all’infinito.
Sia considerata una tabella 2*2 in cui il baco $ B_{a,b} $ sta nella a-esima riga e nella b-esima colonna.
Parto dalla configurazione in cui:
$ B_{1,1} $ guarda in cagnesco $ B_{2,1} $ e
$ B_{1,2} $ guarda in cagnesco $ B_{2,2} $
Posso arrivare attraverso opportune rotazioni di 90° alla configurazione in cui:
$ B_{1,1} $ guarda in cagnesco $ B_{1,2} $ e
$ B_{2,1} $ guarda in cagnesco $ B_{2,2} $ dalla quale posso ritornare al punto di partenza attraverso opportune rotazioni di 90°.
Poi posso ripetere tutto nuovamente.
Quindi il claim:"i Goldbugs raggiuingono la stabilita' in un numero finito di passi" è falso se le mosse sono rotazioni casuali.
Facciamo rotazione di 90 gradi in senso antiorario...
In questo caso sicuramente prima o poi i bachi si fermeranno, infatti:
1) Ipotizzo che esistano (m, n) > 2 tali che i bachi in una griglia m*n continuino a guardarsi male all'infinito.
Dati m,n le configurazioni possibili sono finite (ogni baco può guardare in sole 4 posizioni diverse).
Quindi, se la 1 è vera, si ripete due volte una stessa configurazione A , dopodiché si ripeteranno anche le configurazioni seguenti ad A.
Si crea quindi una serie di configurazioni che si ripete all'infinito.
Ipotizzo che nella serie di configurazioni che si ripete i bachi che stanno sul bordo (i più esterni) si muovano.
Questo vuole dire che almeno un baco esterno fa un giro completo su se stesso.
Girando su se stesso (di 90° in 90° con verso antiorario) prima o poi guarderà fuori dalla griglia.
Quando guarda fuori non si può più muovere.
Quindi è assurdo che i bachi più esterni si muovano nella serie di configurazioni che si ripete.
Posso quindi cancellare tutto il bordo ed ottenere una griglia (m-2)(n-2) in cui i bachi continuino a muoversi all'infinito.
Per discesa arrivo ad una configurazione 2*k o 1*k in cui i bachi continuano a muoversi all'infinito.
Ma in queste due configurazioni ogni baco può fare un numero di mosse finito prima di guardare fuori e non muoversi più.
Quindi l'ipotesi 1 è assurda e in un numero finito di mosse tutti i bachi si fermano.
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