TST Vietnam

[herbrand]

Calcolare
$ $T=\sum\frac{1}{n_1!\,n_2!\cdots n_{1994}!\,\left(n_2+2n_3+3n_4+\cdots+1993n_{1994}\right)!}, $
dove la sommatoria è nell' insieme delle 1994-ple di numeri interi positivi o nulli $ $(n_1,n_2\cdots,n_{1994})$ $ che soddisfano la diofantea

$ n_1+2n_2+3n_3+\cdots+1994n_{1994}=1994 $

(Uffa non riesco ad ingrandire il tex, ma neanche il mio prof... )
Indovinate da che anno ho preso il TST
---------------
[Solo qui sul Forum (e non nel LaTeX uficiale), è sufficiente mettere un $ all'inizio. Invece \[ e \] non sono necessari. Per far lo stesso effetto bastano dei semplici ritorni-a-capo. M.]

[samuel]

Credo che la sezione più adatta per questo quesito sia informatica:mi spieghi come fai a calcolare la somma senza computer?

[EvaristeG]

Se te lo spiegasse, caro samuel, ti darebbe la soluzione dell'esercizio ... cmq per renderlo inadatto alla sezione di informatica, puoi riformularlo mettendo al posto di 1994 un qualsiasi k naturale.

Forse mi sbaglio completamente, ma mi sembra che sapere cos'è un coefficiente multinomiale potrebbe aiutare un pochino nella soluzione ... almeno, credo (aspetto conferma o smentita dall'autore).

[dario2994]

Bon continuo a riesumar... e stavolta sarò conciso.

Sia $n$ un intero fissato (nel testo vale 1994).
Sia $A_k$ l'insieme di successioni di naturali (con lo 0) $a_1,a_2,\dots$ tali che:

• $\sum ia_i=n$
• $\sum a_i=k$

Sia $A=\bigcup A_k$.
Sia $f:A\to \mathbb{R}$ che presa una successione $a_1,a_2,\dots \in A$ (quindi definitivamente nulla) restituisce: $ \displaystyle\frac{1}{\prod a_i!} $.
Lemma di un'impressione: $ \displaystyle\sum_{a\in A_k}f(a)=[x^ny^k]\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}\right) $
Dim.

Testo nascosto:

Associo ad ogni parentesi del prodotto infinito un numero, cioè la sua $i$. Associo ad ogni addendo della somma il valore che avrà $a_i$ dove $i$ è riferito alla parentesi della somma nel prodotto. Ogni addendo del prodotto svolto corrisponderà quindi ad una successione $a_1,a_2,\dots$ se prendo quelli tali che l'esponente di $y$ è $k$ allora deve valere $\sum a_i=k$ e se l'esponente di $x$ è $n$ allora $\sum ia_i=n$. Inoltre ogni addendo del prodotto svolto compare con coefficinete $f(a)$ dove $a$ è la successione a lui associata. Unendo tutti i fatti elencati si ottiene facilmente la dimostrazione del lemma.

Lemma che ricorderemo appena: $ \displaystyle[x^ny^k]\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}\right)=\frac{\binom{n}{k-1}}{k!} $
Dim.

Testo nascosto:

Vale: $\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}=e^{x^iy}$ e perciò:
$ \displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}\right)=\prod_{i=1}^{\infty}e^{x^iy}=e^{\frac{xy}{1-x}} $.
Quindi $ \displaystyle[y^k]\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{x^{ij}y^j}{j!}\right)=[y^k]e^{\frac{xy}{1-x}}=\frac{\left(\frac{x}{1-x}\right)^k}{k!} $.
Allora il lemma equivale a dimostrare $\displaystyle [x^n]\left(\frac{x}{1-x}\right)^k=\binom{n}{k-1}$, che è vero per fatto più o meno noto.

Sia $ \displaystyle T=\sum_{a\in A}\frac{f(a)}{\left(\sum (i-1)a_i\right)!} $ (cioè la definizione del testo). Valgono le seguenti uguaglianze:
$ \displaystyle T=\sum_{a\in A}\frac{f(a)}{\left(n-\sum a_i\right)!}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{a\in A_k}\frac{f(a)}{(n-k)!} $
E applicando il lemma dell'impressione che ricorderemo appena ottengo:
$ \displaystyle T=\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{n}{k-1}}{k!(n-k)!}=\frac 1{n!}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\binom{n}{n-k+1} $
E applicando alla fine una più o meno nota identità combinatorica (dimostrabile facilmente combinatoricamente) ottengo:
$ \displaystyle T=\frac{\binom{2n}{n+1}}{n!} $