Assiomi della geometria

[sgiangrag]

Uno degli assiomi della geometria dice che data 1 retta r e un punto P esiste una sola retta s passante per P parallela a r. Io pensavo di aver dato 1 dimostrazione ma il mio prof mi ha detto che non andava bene. Voi potete spiegarmi perchè? tracciamo la distanza PA del punto P alla retta r. Consideriamo un punto B diverso da P sulla retta s. Tracciamo la distanza BC del punto B alla retta r. Tracciamo la retta BC che chiamiamo t. Neghiamo la tesi. Tracciamo un'altra retta parallela a r passante per P che chiamiamo u. La retta u può essere o parallela a t o incidente a essa in un punto D. Se u fosse parallela a t, u sarebbe perpendicolare a r in qunto t è perpendicolare a r contro ipotesi. Quindi u è incidente a t nel punto D. Il segmento DC è la distanza del punto D alla retta r ma dato che u è parallela a r DC è la distanza tra le 2 rette nel punto D. Ora per definizione di rette parallele le distanze tra le rette si conservano quindi si avrà che PA=BC(distanze rette r,s), PA=DC(distanze rette u,r). Quindi BC=DC e ciò si ha solo se o D è la simmetrica di B rispetto a C o D=B. Il primo caso è impossibile perechè u dovrebbe attraversare la retta r in quanto P e D sono in 2 zone del piano divise dalla retta r diverse quindi è vero il secondo caso. Quindi la retta deve passare per 2 punti (P,B) in quanto B=D ma per 2 punti passa una sola retta. L'ipotesi è dimostrata[/b]

[Giggles]

PER FAVORE RISPONDETEMI!!!!!!!!!!!!uno degli assiomi della geometria dice che data 1 retta r e un punto P esiste una sola retta s passante per P parallela a r. Io pensavo di aver dato 1 dimostrazione ma il mio prof mi ha detto che non andava bene. Voi potete spiegarmi perchè? tracciamo la distanza PA del punto P alla retta r. Consideriamo un punto B diverso da P sulla retta s. Tracciamo la distanza BC del punto B alla retta r. Tracciamo la retta BC che chiamiamo t. Neghiamo la tesi. Tracciamo un'altra retta parallela a r passante per P che chiamiamo u. La retta u può essere o parallela a t o incidente a essa in un punto D. Se u fosse parallela a t, u sarebbe perpendicolare a r in qunto t è perpendicolare a r contro ipotesi. Quindi u è incidente a t nel punto D. Il segmento DC è la distanza del punto D alla retta r ma dato che u è parallela a r DC è la distanza tra le 2 rette nel punto D. Ora per definizione di rette parallele le distanze tra le rette si conservano quindi si avrà che PA=BC(distanze rette r,s), PA=DC(distanze rette u,r). Quindi BC=DC e ciò si ha solo se o D è la simmetrica di B rispetto a C o D=B. Il primo caso è impossibile perechè u dovrebbe attraversare la retta r in quanto P e D sono in 2 zone del piano divise dalla retta r diverse quindi è vero il secondo caso. Quindi la retta deve passare per 2 punti (P,B) in quanto B=D ma per 2 punti passa una sola retta. L'ipotesi è dimostrata[/b]

non puoi dimostralo, è un'assioma, lo dici anche tu... su una sfera non è valido per esempio.

[post233]

E, in ogni caso, l'assioma in questione afferma l'esistenza di una ed una sola parallela alla data per quel punto. Tu hai invece dato per scontata l'esistenza di almeno una parallela.

[fph]

Così per cultura generale: in verità si dimostra dagli altri assiomi (non quelli di Euclide che sono piuttosto "bacati", ma quelli più "moderni" di Hilbert) che esiste almeno una parallela a un punto dato.

[fph]

Io pensavo di aver dato 1 dimostrazione ma il mio prof mi ha detto che non andava bene.

hmm... Usi implicitamente in un paio di posti, quando parli di distanza, il fatto che se ho due rette parallele $ a $ e $ b $ e una terza retta $ c $ perpendicolare ad $ a $, allora $ c $ è perpendicolare anche a $ b $. Questo in generale non è vero, anzi, credo sia equivalente all'assioma delle parallele. Quindi ti stai "mordendo la coda", stai usando un fatto equivalente all'assioma delle parallele per dimostrarlo.

In generale non ti consiglio di continuare a provare a dimostrare l'assioma delle parallele... è impossibile dimostrarlo (proprio nel senso che "è stato dimostrato che è impossibile dimostrarlo", non nel senso di "è estremamente difficile")

ciao,

[Oblomov]

Sapevo anch'io dell'impossibilità di dimostrare l'assioma a partire dagli altri assiomi,ma come é stata dimostrata questa impossibilità "assoluta"?Il fatto che esistano geometrie che ignorano il postulato delle parallele non basta:sul piano euclideo é un assioma indubitabilmente vero.E poi quali sono gli assiomi di Hilbert?
Se é un assioma indimostrabile,come posso essere certo che sia vero?Esistono geometrie che contraddicono altri assiomi di Euclide?
E infine la domandona da 100 milioni(non vorrei fare una cappellata mostruosa,ditemi se sbaglio):il sistema assiomatico di Hilbert é consistente o incompleto?Cioé esistono dimostrazioni contraddittorie che partono dagli assiomi di Hilbert oppure delle affermazioni indimostrabili a partire dai suoi assiomi?Per quanto ne so io di zì'Kurt(Godel,sempre lui) o é l'una o l'altra.Nasi cum lumine,propendo per la seconda.Ma sarà vero?Sarà falso?Saràh Ferguson?
Saluti,
Oblomov

[sgiangrag]

giggles dice che la tesi non è vera in una sfera ma noi lavoriamo in uno spazio euclideo. Post233 dice che devo dimostrare che esiste almeno 1 retta parallela: ha ragione ma fph dice che già esiste 1 dimostrazione di ciò. Fph poi dice:
"il fatto che se ho due rette parallele a e b e una terza retta c perpendicolare ad a, allora c è perpendicolare anche a b. Questo in generale non è vero".
Io invece vorrei provare a dimostrare che è vero sempre(magari poi mi correggete...). Se ho 2 rette a,b consdieriamo la distanza AB del paunto A (appartente ad a) alla retta b. Chiamiamo c la retta AB.Costruiamo 1 retta d perpendicolare ad a nel punto A. Faccio rifermento all'assioma euclideo del trasporto delgi angoli che dice:
"dato una angolo ab ed 1 fascio orientato di semirette sul quale si sia fissata 1 semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che l'angolo cd, nell'orientamento prefissato, sia congruente all'angolo ab."
Quindi nel nostro caso , se consideriamo 1 semiretta giacente in a uscente da A, per l'assioma sopra considerato la retta perpendicolare ad a per il punto A è unica e dato che sia c che d sono perpendincolari ad a e passano per il punto A esse coincidono. Ogni angolo in B (dalle rette b,c)come ogni angolo in A (dalle rette a,c)è di 90 gradi perchè BA è la distanza tra le 2 rette. Quindi la retta c è perpendicolare ad a e a b. La tesi è dimostrata.
ALLA LUCE DI QUESTI FATTI COSA MI RISPONDETE? DIMOSTRATEMI IN MODO RIGOROSO E INDISCUTIBILE CHE LA MIA DIMOSTRAZIONE NON E' CORRETTA.
P:S:mi associo ai quesiti di Oblomov

[EvaristeG]

La dimostrazione rigorosa e indiscutibile che cerchi è il fatto che esiste una geometria (quella iperbolica) dove vengono soddisfatti TUTTI gli altri assiomi di Hilbert tranno che il postulato delle parallele.
Questo vuol dire delle due l'una :
1) la geometria iperbolica è contraddittoria
2) l'assioma delle parallele è indipendente da tutti gli altri (non può essere dimostrato a partire dagli altri)

Ora, ti faccio notare che esiste un modello di geometria iperbolica (un insieme i cui elementi sono chiamati punti e in cui sono scelti speciali sottoinsiemi chiamati rette che rispettano tutti gli assiomi di Hilbert tranno che quello dell'unicità della parallela) dentro il normale piano euclideo (quello che passa sotto il nome di disco di poincarè); quindi se siamo nell'ipotesi 1) è contraddittoria anche la stessa geometria euclidea, con o senza l'assioma delle parallele.

Infine, il lavoro di Goedel si applica a sistemi che contengano l'aritmetica, mentre la geometria non contiene l'aritmetica, in quanto le manca la caratteristica fondamentale dei numeri naturali : l'induzione.

Questo per ora ... visto che domani ho un compitino e vorrei studiare qualcosina ... quando avrò più tempo, forse risponderò un po' meglio a entrambi.

[fph]

Saggie parole, EvaristeG. Aggiungo solo che (stavolta sono considerazioni personali, spero di non dire boiate) $ \mathbb R^2 $ è un modello della geometria euclidea, quindi se la geometria è contraddittoria dovrebbe "portarsi dietro" anche $ \mathbb R $ e, poiché $ \mathbb R $ si costruisce a partire da $ N $, tutta l'aritmetica.
Quindi se la geometria euclidea è contraddittoria dobbiamo fare tutti le valigie e cambiare corso di laurea

[Oblomov]

Mi manca un pezzo.
1)Dunque dobbiamo rinunciare a dimostrare per via assiomatica il postulato delle parallele?E' una di quelle affermazioni indimostrabili che dobbiamo prendere per vere?Può essere dimostrabile a partire da un diverso sistema assiomatico(a partire da quello di Hilbert sembra di sì)?
2)Quali sono gli assiomi di Hilbert?Potete anche rispondermi al "Comitato di accoglienza",ma vorrei una risposta comprensibile(senza troppo "matematichese",per intenderci).
3)La geometria iperbolica é diversa da quella euclidea solo per le parallele?
Esistono altre geometrie che disconoscono altri assiomi euclidei?
4)Di nuovo la domandissima:il sistema assiomatico di Hilbert é consistente,completo o entrambe le cose?
Salus,salutis,saluti...
Ciao da Ob

[mattilgale]

sgriangang...
quando usi una qualche proprietà sull'uncità di rette parallele o perpendicolari (come fa nelle tue dimostrazioni) usi certamente un teorema derivato dal postulato delle parallele... non ho letto nel dettaglio al tua dimostrazione ma "purtroppo" è sempre così...

comunque volevo inserirmi per chiedere una cosa... la mia prof di fisica tempo fga mi accennò che qualcuno aveva dimostrato che in nessun sistema assiomatico possiamo essere certi che non ci siano contraddizioni... paradossi...
è vero? che ne sapete?

[fph]

1)Dunque dobbiamo rinunciare a dimostrare per via assiomatica il postulato delle parallele?E' una di quelle affermazioni indimostrabili che dobbiamo prendere per vere?

E' esattamente questo che significa "assioma" o "postulato".

Può essere dimostrabile a partire da un diverso sistema assiomatico(a partire da quello di Hilbert sembra di sì)?

Beh, se banalmente prendi gli assiomi di Hilbert con il postulato delle parallele (o con qualcosa di equivalente), allora hai ottenuto un sistema assiomatico in cui P (lo chiamo P per fare in breve) è dimostrabile.

2)Quali sono gli assiomi di Hilbert?Potete anche rispondermi al "Comitato di accoglienza",ma vorrei una risposta comprensibile(senza troppo "matematichese",per intenderci).

In ogni caso questa è MNE (a livello abbastanza universitario) e ce la sposto immediatamente. Comunque, trovi una versione per il piano degli assiomi di Hilbert
qui, per esempio.
Si chiama piano di Hilbert una cosa che soddisfi le famiglie "I", "B" e "C" di assiomi (mi sembra, almeno. Non ho letto il documento con moltissima attenzione ). Se ci metti tutti gli assiomi che sono scritti nel pdf si dovrebbe riuscire a dimostrare che l'unico modello che li soddisfa tutti è il piano euclideo.
Sorry ma un po' di "matematichese" c'è, è necessario per esprimerli compiutamente.

3)La geometria iperbolica é diversa da quella euclidea solo per le parallele?
Esistono altre geometrie che disconoscono altri assiomi euclidei?

Sì, sostanzialmente. Sì, i logici studiano anche queste cose. Per comprendere molti controesempi però dovresti sapere cos'è un campo e conoscere qualche esempio di campo "non canonico".
(e poi la geometria iperbolica --e quella sulla sfera di Riemann-- sono le uniche veramente interessanti se non sei un lozico)

4)Di nuovo la domandissima:il sistema assiomatico di Hilbert é consistente,completo o entrambe le cose?

Supponendo che l'aritmetica sia consistente (se no, come dicevo, si fa tutti le valigie e si torna a casa), gli assiomi di Hilbert sono consistenti, perché la geometria euclidea ne è un modello.
Per dire che sono completi, bisognerebbe intendere esattamente quali si intende come "assiomi di Hilbert". Se si intende che includano parallele e continuità della retta, allora mi pare che si dimostri che l'unico modello è il piano "normale". Se si includono solo gli assiomi del "piano di Hilbert" (I,B e C) allora ci sono modelli sostanzialmente diversi, ad esempio la geometria iperbolica e la geometria euclidea.

Comunque secondo me tutta questa assiomatizzazione non è molto interessante... provate a buttarvi su qualche problema più "olimpico" di geometria.

[EvaristeG]

Oh mamma mia ... dunque ... (profondo respiro)

Una teoria assiomatica si costruisce così : si prendono un po' di proposizioni (dette ASSIOMI) e si cerca di ricavare tutte le proposizioni che da esse vengono implicate.

Esempio : consideriamo i due assiomi seguenti
I) comunque dati due PUNTI distinti esiste una e una sola RETTA che li contiene entrambi
II) esistono almeno 3 PUNTI distinti che non appartengono alla stessa RETTA.

TEOREMA : I) e II) ==> esistono almeno 3 rette
DIM : II) esistono A,B,C punti e non esiste nessuna retta L tale che L contiene A,B,C, allora per I) esiste una retta R_1 che contiene A,B, per I) esiste una retta R_2 che contiene B,C, per III) esiste una retta R_3 che contiene A,C.
Ora, R_1 non contiene C, R_2 non contiene A, R_3 non contiene B, per II), e sempre per II) le tre rette sono distinte.

Ora, se abbiamo degli assiomi, indichiamoli con A, dovremmo scrivere i teoremi nella forma : A===> .......
Di solito si omette A===> e si scrive solo quel che viene dopo.

Un MODELLO per una teoria assiomatica è (in soldoni) una rappresentazione concreta degli oggetti descritti dagli assiomi, in cui gli assiomi siano rispettati.
Non esiste un unico modello di una data teoria.
Ad esempio, un modello per i due assiomi di prima può essere il piano euclideo, ma anche lo spazio, o anche l'insieme formato dai 4 vertici del quadrato e da lati e diagonali del quadrato.

Una teoria è COERENTE se all'interno di lei non si possono dimostrare contemporaneamente una proposizione e la sua negazione :
ovvero, se non è possibile che A===> P e A====> (non P) siano entrambi teoremi.

Una teoria non coerente non può avere modelli.

Ora, arrivano le cose più tecniche ... mi pare che una teoria si dica COMPLETA se per ogni proposizione P che si può scrivere riguardo gli oggetti della teoria e le loro relazioni si può dire se P è vera o falsa, oppure mal posta.

Ad esempio, nell'aritmetica, "i numeri primi sono infiniti" è vera, "2 è dispari" è falsa e "l'addizione divide ogni numero primo" è mal posta (=non vuol dire nulla).

Goedel ha dimostrato che ogni teoria che contenga al proprio interno l'aritmetica è incompleta (ma prendete questa affermazione con le pinze, visto che io di logica ....).

Venendo a noi, gli assiomi della geometria classica sono, ufficialmente, quelli di Hilbert, che vi riporto in inglese in quanto non ho la minima voglia di tradurli :

I. Axioms of Incidence:
For every two points A, B there exits a line a that contains each of the points A, B.
For every two points A, B there exists no more than one line that contains each of the points A, B.
There exist at least two points on a line. There exist at least three points that do not lie on a line.
For any three points A, B, C that do not lie on the same line there exists a plane alpha that contains each of the points A, B, C. For every plane there exists a point which it contains.
For any three points A, B, C that do not lie on one and the same line there exists no more than one plane that contains each of the three points A, B, C.
If two points A, B of a line a lie in a plane alpha, then every point of a lies in the plane alpha.
If two planes alpha, beta have a point A in common, then they have at least one more point B in common.
There exist at least four point which do not lie in a plane.

II. Axioms of Order:
If a point B lies between a point A and a point C, then the points A, B, C are three distinct points of a line, and B then also lies between C and A.
For two points A and C, there always exists at lest one point B on the line AC such that C lies between A and B.
Of any three points on a line there exists no more than one that lies between the other two.
Let A, B, C be three points that do not lie on a line and let a be a line in the plane ABC which does not meet any of the points A, B, C. If the line a passes through a point of the segment AB, it also passes through a point of the segment AC, or through a point of the segment BC.

III. Axioms of Congruence:
1. If A, B are two points on a line a, and A' is a point on the same or on another line a' then it is always possible to find a point B' on a given side of the line a' through A' such that the segment AB is congruent or equal to the segment A'B'. In symbols AB = A'B'.
If a segment A'B' and a segment A"B", are congruent to the same segment AB, then the segment A'B' is also congruent to the segment A"B", or briefly, if two segments are congruent to a third one they are congruent to each other.
On the line a let AB and BC be two segments which except for B have no point in common. Furthermore, on the same or on another line a' let A'B' and B'C' be two segments which except for B' also have no point in common. In the case, if AB = A'B' and BC = B'C' then AC = A'C'.
Let angle(h,k) be an angle in a plane [alpha] and a' a line in a plane [alpha]' and let a definite side of a' in [alpha]' be given. Let h' be a ray on the line a' that emanates from the point O'. Then there exists in the plane [alpha]' one and only one ray k' such that the angle(h,k) is congruent or equal to the angle(h',k') and at the same time all interior point of the angle(h',k') lie on the given side of a'. Symbolically angle(h,k) = angle(h',k'). Every angle is congruent to itself, i.e., angle(h,k) = angle(h,k) is always true.
If for two triangles ABC and A'B'C' the congruences AB = A'B', AC = A'C', angleBAC = angleB'A'C' hold, then the congruence angleABC = angleA'B'C' is also satisfied.

IV. Axiom of Parallels:
(Euclid's Axiom) Let a be any line and A a point not on it. Then there is at most one line in the plane, determined by a and A, that passes through A and does not intersect a.

V. Axioms of Continuity:
(Archimedes' Axiom or Axiom of Measure) If AB and CD are any segments, then there exists a number n such that n segments CD constructed contiguously from A, along the ray from A through B, will pass beyond the point B.
(Axiom of Line Completeness) An extension of a set of points on a line with its order and congruence relations that would preserve the relations existing among the original elements as well as the fundamental properties of line order and congruence that follow from Axioms I-III, and from V,1 is impossible.

Ora, parliamo di indipendenza : un assioma a è indipendente da un sistema coerente di assiomi A se le teorie (A,a) e (A,non a) sono entrambe coerenti.
Ad esempio, il primo degli assiomi V di continuità è indipendente da tutti gli altri ... è un esercizio tosto trovare un modello in cui tutti gli altri assiomi siano veri e non lo sia l'assioma di archimede (si chiamano di solito geometrie non archimedee).

Pur non sapendo se esiste un modello in cui sono soddisfatti gli assiomi di Hilbert (sappiamo che c'è, è il piano cartesiano, ma così spostiamo tutto sulla coerenza dell'algebra ...) possiamo far vedere che geometrie ottenute negando uno degli assiomi stanno in piedi mostrando che modelli che le soddisfano stanno dentro il piano euclideo.

Quindi, ad esempio, l'assioma delle parallele è indipendente dagli altri in quanto il disco di Poincarè sta nel piano euclideo e soddisfa tutti gli assiomi tranne che quello dell'unicità della parallela; l'assioma di archimede è pure indipendente poichè esiste un modello di geometria non archimedea nello spazio euclideo.

In quanto al negare altri assiomi, alcuni assiomi non possono essere negati singolarmente, in quanto essi non implicano e non sono implicati dagli altri, ma le loro negazioni a volte fanno un po' di casino con gli altri.
Lo stesso assioma delle parallele può essere negato in due modi :
1) esistono infinite parallele, il che si accorda con tutti gli altri assiomi e dala geometria iperbolica
2) non esiste alcuna parallela, il che non si accorda con tutti gli altri, necessita di altre modifiche, e da la geometria ellittica.

Uff, basta!

[Oblomov]

Basta?Buttatevi su altri problemi?Giammai!
Via,ora é tutto chiaro,gli assiomi di Hilbert me li riguardo domani con calma.
Grazie per l'aiuto e per i chiarimenti.
Ciao

[Giggles]

comunque, un sistema logico è semanticamente completo se dimostra tutte le proposizioni vere del sistema, e sintatticamente completo se dimostra o una formula o la sua negazione.
il primo teorema di Godel dice che un sistema corretto (che contenga abbastanza "aritmetica" da creare certe proposizioni autoreferentesi) è incompleto.

(corretto semanticamente: dimostra solo verità)

Geometria e teoria dei reali (analisi) sono complete, un teorema di Tarski dice che ogni formula predicativa della teoria dei reali è equivalente a una formula senza quantificatori. Per applicare il teorema di Godel, il sistema dovrebbe contenere i quantificatori. Poi la geometria è riducibile all'analisi.

è tutto scritto sul libro di odifreddi che hanno dato la scorsa gara nazionale a cesenatico... è bello quel libro.