Paradossi sull'infinito

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Iron_Man
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Paradossi sull'infinito

Messaggio da Iron_Man »

Oggi è venuto nelle nostra scuola un professore dell’università di Pavia per farci una conferenza sull'infinito e alla fine della quale ci ha esposto due paradossi che riporto qui sotto:

1)Matteo fa il turno di notte in uno stabilimento e guadagna 10 banconote da 10$, quando arriva a casa all'alba le numera e le impila una sopra l'altra mettendo sulla numero 1 la n. 2 e così via; per vivere però alla sera spende 10$ che prende dalla sommità della pila (nel senso che ogni giorno toglie quella la cui ultima cifra è 0, la n. 10 il 1°giorno, poi la n. 20 e così via...). All' alba del giorno dopo quando torna a casa mette altre 10 banconote sopra al pila (da cui il giorno prima ne aveva tolta una) e poi la sera preleva ancora una banconota sempre con il sistema di prima e continua così all'infinito.Quante banconote avrà dopo infiniti giorni?

2)Andrea fa lo stesso lavoro di Matteo, anche lui guadagna 10 banconote da 10$ e per sopravvivere spende 10$. Anche lui quando rincasa all'alba numera e impila le 10 banconote in ordine crescente solo che alla sera prima di uscire anziché prendere i 10$ dalla sommità della pila li prende dal fondo (nel senso che toglie la banconota numero 1 il primo giorno, la numero 2 il secondo e così via...). Se Andrea continua così all'infinito quante banconote avrà dopo infiniti giorni?

Questo paradosso è forse più noto come paradosso dell'urna (nella quale vengono messe le palline numerate ecc...)

P.S. Ho postato qui e non in matematica ricreativa perchè non vedo queto problema come un giochino o qualcosa di simile, spero di non aver sbagliato. :roll:
"Forse questo mondo è l'inferno di un'altro pianeta."
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Iron_Man
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Messaggio da Iron_Man »

Posto ora le risposte che ci ha fornito il professore:
Matteo (il primo) dopo infiniti giorni avrà infinite banconote e sarà un Paperon de Paperoni mentre Andrea non avrà più neanche una banconota e andrà a vivere sotto un ponte.

Ora vi espongo il mio dubbio secondo il quale per me questi paradossi siano in realtà uguali e dopo infiniti giorni entrambi dovrebbero avere infinite banconote da 10$. Infatti indipendentemente dal punto della pila dalla quale tolgo la banconota per determinare quante ne avrò dopo $ n $ giorni devo fare:
$ 10n-n=9n $
Perciò come dicevo prima non importa da dove prelevo la banconota perché tanto dopo infiniti giorni avrò infinite banconote perché ogni giorno sono più quella che guadagno di quelle che spendo. 8)
Voi cosa mi consogliate, dov'è che c'è l'errore? :oops:
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Oblomov
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Messaggio da Oblomov »

Il motivo esposto dal prof per il quale Mattteo diventa schifosamente ricco e ad Andrea non resta un baiocco dovrebbe essere questo.
Andrea ha la prima banconota?No,l'ha usata il primo giorno.Ha la seconda banconota?No,l'ha usata il secondo giorno.Idem con patate per la terza,la quarta...,la miliardesima...,l'ennesima... banconota:tutte estratte dalla pila.
Il tuo ragionamento funziona finché consideri un numero intero di banconote,per quanto alto esso sia;ma quando giungi a infinito,poiché $ \infty- \infty $ é indeterminato,il tuo ragionamento perde di senso.Infinito meno infinito dà un qualsiasi numero intero,a seconda del modo di sottrarre: ad esempio ad Andrea potrebbero restare 10 banconote,se fosse previdente e iniziasse a sottrarre alla decima notte.Come potrebbe rimanere con un numero di banconote dato,diciamo dieci,togliendo sempre una banconota a notte?(provateci, é molto interessante...un'ottima nocciolina,ma la propongo qui.)
Mi viene in mente la famosa serie
1-1+1-1+1-...quanto fa?
Zero forse?(1-1)+(1-1)+(1-... é un modo legittimo di interpretarla,e si tratta di fare zero più zero più zero...alla fine dovrei avere zero.
Ma forse fa uno.In effetti la posso considerare come
1-(1-1)-(1-1)-... é come fare uno meno zero meno zero meno zero meno...alla fine fa uno.
E se facesse 1/2?La posso trasformare in
1-(1-1+1-1+...cioé la somma della serie é uguale a uno meno la somma della serie,quindi tale somma é di un mezzo.E difatti,se applico la famosa formula per il limite delle serie armoniche e considero -1 il valore costante che viene elevato a potenze crescenti,ottengo proprio 1/2.
La serie che non converge né diverge ha fatto sbagliare anche Gauss,per quel che ne so.
Mi vengonom in mete altri possibili paradossi dell'infinito,ma non vorrei seccarti.
Spero di essere stato esauriente.
Ciao
Ob
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desko
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Messaggio da desko »

In altre parole la proprietà commutativa dell'addizione vale per un numero finito di addendi.
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer »

Oblomov ha scritto:La serie che non converge né diverge ha fatto sbagliare anche Gauss,per quel che ne so.
Gauss mi pare strano, io mi ricordavo Eulero...
Comunque se quel professore ha fatto esattamente quel discorso, sarebbe da rinchiudere. :?
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Iron_Man
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Messaggio da Iron_Man »

Oblomov ha scritto:Mi vengono in mete altri possibili paradossi dell'infinito,ma non vorrei seccarti. Spero di essere stato esauriente.
Non preoccuparti che non sei stato noiso, anzi molto esauriente.
MindFlyer ha scritto:Comunque se quel professore ha fatto esattamente quel discorso, sarebbe da rinchiudere.
Sì era proprio così, un unica differenza è che quando ha parlato dell'infinitesimo giorno ha aggiunto anche:"se è possibile pensarlo". Per il resto tutto come sopra :lol:
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