qualcuno può risolvermi questo integrale?
$ $$\displaystyle {\frac{1}{\beta^2}\int_0^\infty{{x^2}\beta^{\left(\frac{-x}{\beta}\right)}}} $$ $
o per lo meno può dirmi se il risultato è $ 2\beta $?
Integrale
$ I_n=\int_0^\infty x^na^{-bx}dx $ con n naturale, a,b reali positivi, a>1.
$ I_n=(per\ parti)=-bx^n\frac{a^{-bx}}{\log a}\vert_0^\infty + \frac{n}{b\log a}I_{n-1}=\frac{n}{b\log a}I_{n-1} $
Dunque, per induzione $ I_n=n!\left(\frac{1}{b\log a}\right)^nI_0 $
e $ I_0=\int_0^\infty a^{-bx}=\frac{-1}{b\log a}a^{-bx}\vert_0^\infty=\frac{1}{b\log a} $
Quindi $ I_n=n!\left(\frac{1}{b\log a}\right)^{n+1} $.
Nel tuo caso $ a=\beta $ e $ b=1/\beta $ da cui $ I_2=2\frac{\beta^3}{\log^3\beta} $
Moltiplicando per $ 1/\beta^2 $ viene $ 2\frac{\beta}{\log^3\beta} $.
Ora, plausibilmente la base dell'esponenziale sarà e e non beta, da cui il tuo risultato. Perché, se come al solito beta sta tra 0 e inf o tra 0 e 1, sono cazzi ...
$ I_n=(per\ parti)=-bx^n\frac{a^{-bx}}{\log a}\vert_0^\infty + \frac{n}{b\log a}I_{n-1}=\frac{n}{b\log a}I_{n-1} $
Dunque, per induzione $ I_n=n!\left(\frac{1}{b\log a}\right)^nI_0 $
e $ I_0=\int_0^\infty a^{-bx}=\frac{-1}{b\log a}a^{-bx}\vert_0^\infty=\frac{1}{b\log a} $
Quindi $ I_n=n!\left(\frac{1}{b\log a}\right)^{n+1} $.
Nel tuo caso $ a=\beta $ e $ b=1/\beta $ da cui $ I_2=2\frac{\beta^3}{\log^3\beta} $
Moltiplicando per $ 1/\beta^2 $ viene $ 2\frac{\beta}{\log^3\beta} $.
Ora, plausibilmente la base dell'esponenziale sarà e e non beta, da cui il tuo risultato. Perché, se come al solito beta sta tra 0 e inf o tra 0 e 1, sono cazzi ...