Moi sulle orme di Fermat

[HiTLeuLeR]

Uh... Essendo $ p $ un primo (razionale) $ > 2 $, ammettiamo (ignorando per un attimo le ben note conclusioni di Wiles&Ribet) che esistano interi non nulli e coprimi $ x_1,x_2,x_3 $ per cui $ x_1^p + x_2^p = x_3^p $. Provi qualcuno (se ci riesce!) che sono allora determinati $ p_1, p_2, p_3 $ primi (razionali) tali che $ p_i $ divide $ x_i $ e $ p_i \equiv 1 \bmod p $, per $ i=1, 2, 3 $.

NOTA: è una mia creatura! Non è meravigliosa? Deh, che commozione essere padre...

EDIT: accolta l'eccezione di HumanT.

[HumanTorch]

Il problema non è chiaro ...se sono determinati ${x_1}^p+{x_2}^p={x_3}^p$ (almeno uno fra gli $x_i$ sarà pari), anche $2\cdot x_i$ andrà bene, quindi $p_1_p_2=p_3=2$, essendo $p>2$ per ipotesi

[HiTLeuLeR]

Giusto, Human, ho scordato di dire che deve pure ammettersi $ \gcd(x_1, x_2, x_3) = 1 $. Edito!

::: Senonché, qualche minuto più tardi... :::

Ehm... Forse ho letto troppo in fretta! Credevo che lo fosse, ma invece... non mi è chiaro quel che intendi, HT. Il mio problema chiede di dimostrare che, se la terna $ (x_1, x_2, x_3) $ è una soluzione non banale (i.e., $ x_1 x_2 x_3 \neq 0 $) in numeri interi all'equazione di Fermat di grado $ p $, dove $ p $ è un primo $ > 2 $, allora ogni $ x_i $ possiede almeno un fattore primo $ p_i \equiv 1 \bmod p $. Che ce ne frega a noi se poi uno qualsiasi fra gli $ x_i $ è pari?! O se ancora è possibile generare da ogni terna di soluzioni infinite altre, moltiplicandone semplicemente le singole componenti per uno stesso fattore? Buh... Anyway, per fugare ogni dubbio, ci lascio comunque indicata la condizione di coprimalità di $ x_1, x_2, x_3 $ (seppure NON necessaria).

[HumanTorch]

Certo, sorry, ho letto $ p_i\neq p $ , comunque eliminando la coprimalità, supponendo che esista una terna che soddisfa le ipotesi, se $ p_j\equiv 1 $ mod p, allora moltiplicando il tutto per $ {p_j}^p $, la nuova terna soddisferà la tesi...

EDITO: per rendere più chiaro

[HiTLeuLeR]

Certo, sorry, ho letto $ p_i\neq p $ , comunque eliminando la coprimalità, se $ p_j\equiv 1 $ mod p, allora moltiplicando il tutto per $ {p_j}^p $...

Human, proprio non ci capiamo, eh?! Se anche moltiplichi la terna $ (x_1, x_2, x_3) $ per un fattore intero $ k \neq 0 $ tale che $ k $ contenga almeno un primo $ q \equiv 1 \bmod p $, ottenendo una nuova terna $ (\hat{x}_1, \hat{x}_2, \hat{x_2}) $ che verifica la tesi, certo non hai per garantito che la terna originale soddisfi la proprietà indicata nella consegna del problema. Ti è chiaro?

eliminando la coprimalità, supponendo che esista una terna che soddisfa le ipotesi, se $ p_j\equiv 1 $ mod p, allora moltiplicando il tutto per $ {p_j}^p $, la nuova terna soddisferà la tesi...

...la nuova sì, sicuro, ma la vecchia?!