Beccatevi sta funzione!

[Simo_the_wolf]

Determinare tutte le funzioni $ f:Z^+\rightarrow Z $ tali che:

(i) se $ a|b $ allora $ f(a) \geq f(b) $
(ii) $ \forall a,b \in Z^+ $ abbiamo che $ f(a)+f(b)=f(ab)+f(a^2+b^2) $

[Marco]

Chiamo i primi = 3 mod 4 "pigri".

Fissiamo f(1) a piacere e, per ogni primo pigro, f(p) con l'unico vincolo che f(p) <= f(1).

Per ogni intero positivo a, definisco P(a) come l'insieme di tutti i suoi divisori primi pigri e t(a) come la cardinalità di P(a).

Definisco
$ $ f(a) = \left( \sum_{p \in P(a)} {f(p)} \right ) - [t(a)-1] f(1) $.

Claim: Le funzioni cercate sono tutte e sole quelle che sono costruite così.

Bel problema, ma la mia sol è decisamente poco elementare...

EDIT: beh, no in effetti esiste anche la versione olimpica...