sottogruppi normali e ordini che si dividono

[hexen]

ciao

Sia G un gruppo finito e $ N \lhd G $ sottogruppo normale.

Dimostrare che $ \forall g \in G \quad ord(gN) | ord (g) $

Mia successione di cazzate che vogliono provare a ipotizzare di essere una soluzione:

Poniamo

m:= |G|
n := |N|
e abbiamo
$ (G:N)=\frac m n $ per conseguenza del teorema di Lagrange

Ora, sempre come conseguenza del teorema di Lagrange abbiamo
$ \frac m n=|G/N| = k \cdot ord(gN) $
$ m=|G|=h \cdot ord(g) $

Da qui diciamo che

$ h \cdot ord(g) = kn \cdot ord(gN) $.

Ora c'è qualcosa che dice che kn divide h??

[talpuz]

più semplicemente:

considera l'omomorfismo di proiezione al quoziente

$ \pi: G \rightarrow G/N $

definito da

$ \pi(g)=gN $

hai che

$ gN=\pi(g) \Rightarrow (gN)^k=(\pi(g))^k=\pi(g^k) $

e ponendo $ k=ord(g) $

$ (gN)^{ord(g)}=\pi(g^{ord(g)})=\pi(e)=N $

dunque hai proprio che $ ord(gN) | ord(g) $

(perchè in un gruppo qualsiasi $ a^n=e \Rightarrow ord(a) | n $)

[Marco]

La dimo di Talpuz è ineccepibile. Per vederne una un po' più con le mani,

Considera la successione delle potenze di g: e, g g^2,... E' periodica di periodo o(g), che è il periodo di ritorno in e. Che cos'è o(gN)? E' il perido di ritorno in N. Dato che e € N, il secondo è un sottoperiodo del primo.