Questa proprio di elementare non ha nulla e di certo non è "di base" ... EG
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Qualcuno potrebbe postare la dimostrazione di Gauss relativa al legame fra i poligoni regolari costruiti sulla suddivisione della circonferenza e numeri primi di Fermat.
dimostrazione di Gauss
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goedelgauss
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dimostrazione di Gauss
senza la Matematica e la Logica cosa saremmo?animali senza la possibilita di una conoscenza certa
Ci vuole un poco di matematica non elementare, come avevo scritto spostando il tuo post ... cmq, spero che tu faccia atto di fede su quello che non capisci.
Allora... un campo è un insieme $ \mathbb{K} $ dove abbiamo due operazioni che si comportano come la somma e il prodotto sui numeri reali, o razionali, o complessi. Per fare un esempio non ovvio, l'insieme dei resti modulo p (un numero primo) è un campo, dove le operazioni sono quelle usuali modulo p.
Un'estensione di campi è una situazione del genere :$ \mathbb{K}\subset\mathbb{L} $; si dice allora che L è un'estensione di K.
Un elemento $ \alpha\in\mathbb{L} $ si dice algebrico su K se esiste un polinomio non nullo $ p(x)=x^n+k_1x^{n-1}+\ldots+k_n $ con tutti i coefficienti $ k_i $ in K, tale che $ p(\alpha)=0 $ (questo ha senso, se vuoi, perchè K sta in L e quindi p(x) è anche a coefficienti in L, dove alfa esiste).
Ora, un caso particolarmente felice è quando i campi si ottengono l'uno dall'altro semplicemente aggiungendo un elemento algebrico; ad esempio, se consideri $ \mathbb{Q} $, l'insieme dei numeri razionali, e ci aggiungi $ i $, l'unità immaginaria che è radice del polinomio $ x^2+1 $, per ottenere ancora un campo dovrai anche aggiungere degli elementi fatti dalle combinazioni di i e delle sue potenze (positive e negative, ma intere) con gli elementi di Q. Il fatto che i soddisfi quel polinomio di secondo grado, ci dice in realtà che ci serve aggiungere solo la sua prima potenza, perchè la seconda sarà uguale a -1.
Ora, l'ultima cosa, poi potremo dimostrare il teorema. Il grado di un'estensione $ \mathbb{K}\subset \mathbb{L} $(per ora consideriamola ottenuta aggiungendo un solo elemento $ \alpha $ e dunque si scrive $ [tex] $\mathbb{L}=\mathbb{K}(\alpha)) è il minore tra i gradi dei polinomi a coefficienti in K che si annullano in alfa. Nel caso di prima, l'estensione di Q aggiungendo i ha grado 2, in quanto i non è razionale e dunque non c'è un polinomio di primo grado che si annulla in i.
I gradi sono moltiplicativi : se $ \mathbb{L}=\mathbb{K}(\alpha) $ e tale estensione ha grado a, $ \mathbb{K}=\mathbb{N}(\beta) $ e tale estensione ha grado b, allora esiste un elemento gamma tale che $ \mathbb{L}=\mathbb{N}(\gamma) $ e tale estensione ha grado a*b.
Ecco, adesso alcune cose che possono essere dimostrate ma che sono anche abbastanza credibili:
1) Interpretando il piano cartesiano come insieme dei numeri complessi (piano di Gauss, appunto), i punti a coordinate razionali formano un campo sotto le operazioni di somma e moltiplicazione di numeri complessi e sono proprio il campo $ \mathbb{Q}(i) $
2) I punti "costruibili" (= per i quali esiste una sequenza finita di operazioni con riga e compasso che, a partire dai punti 0 e 1, porti a trovarli) formano un campo sotto le operazioni di somma e moltiplicazione complesse.
[Basta trovare una costruzione geometrica che permette di sommare e moltiplicare, sottrarre e dividere]
3) Dato un insieme di punti del piano che formi un campo in cui tutti gli elementi siano costruibili, diciamo rette costruibili quelle che passano per almeno due punti di detto insieme e circonferenze costruibili quelle che hanno come centro un punto di tale insieme e passano per almeno un punto di tale insieme. Allora :
------a) intersecando due rette costruibili troviamo ancora un punto dell'insieme
------b) intersecando due circonferenze costruibili troviamo due punti che, se anche non stanno nell'insieme, sono però in una estensione di grado 2 (questo perchè, in geometria analitica, l'intersecare due circonferenze equivale a intersecare una circonferenza e una retta e quindi a risolvere un'equazione di 2° grado).
Tutto questo implica che un punto è costruibile se il numero complesso che lo rappresenta giace in una estensione di grado 2 di un precedente campo di numeri costruibili che avrà grado 2 come estensione di un precedente campo etc etc fino ad arrivare al campo dei numeri razionali, che sappiamo sicuramente tutti costruire. Quindi un punto è costruibile se sta in una estensione di grado $ 2^m $ dei razionali.
Ora, ultima cosa, costruire i vertici del n-agono regolare equivale a trovare le radici n-esime dell'unità in campo complesso; inoltre, l'mn-agono è costruibile se e solo se lo sono l'm-agono e l'n-agono. Quindi ci basta discutere il caso con n primo.
Si dimostra, con un po' di fatica, che, se chiamo $ \zeta_p $ una radice p-esima dell'unità nei complessi, il minimo tra i gradi dei polinomi a coefficienti razionali che si annullano su di lei è $ \phi(p)=p-1 $; dunque, se lo ho costruito, i suoi punti devono giacere in un'estensione di grado $ 2^m $. Del resto, quello che abbiamo detto implica che il grado dell'estensione deve essere $ \phi(p) $.
Tutto ciò porta a dire che $ p-1=2^m $ e si vede che questo è equivalente a chiedere che $ p=2^{2^k}-1 $.
Quindi tutti e soli i poligoni con numero di lati primo costruibili sono quelli in cui il numero di lati è un numero di Fermat.
Allora... un campo è un insieme $ \mathbb{K} $ dove abbiamo due operazioni che si comportano come la somma e il prodotto sui numeri reali, o razionali, o complessi. Per fare un esempio non ovvio, l'insieme dei resti modulo p (un numero primo) è un campo, dove le operazioni sono quelle usuali modulo p.
Un'estensione di campi è una situazione del genere :$ \mathbb{K}\subset\mathbb{L} $; si dice allora che L è un'estensione di K.
Un elemento $ \alpha\in\mathbb{L} $ si dice algebrico su K se esiste un polinomio non nullo $ p(x)=x^n+k_1x^{n-1}+\ldots+k_n $ con tutti i coefficienti $ k_i $ in K, tale che $ p(\alpha)=0 $ (questo ha senso, se vuoi, perchè K sta in L e quindi p(x) è anche a coefficienti in L, dove alfa esiste).
Ora, un caso particolarmente felice è quando i campi si ottengono l'uno dall'altro semplicemente aggiungendo un elemento algebrico; ad esempio, se consideri $ \mathbb{Q} $, l'insieme dei numeri razionali, e ci aggiungi $ i $, l'unità immaginaria che è radice del polinomio $ x^2+1 $, per ottenere ancora un campo dovrai anche aggiungere degli elementi fatti dalle combinazioni di i e delle sue potenze (positive e negative, ma intere) con gli elementi di Q. Il fatto che i soddisfi quel polinomio di secondo grado, ci dice in realtà che ci serve aggiungere solo la sua prima potenza, perchè la seconda sarà uguale a -1.
Ora, l'ultima cosa, poi potremo dimostrare il teorema. Il grado di un'estensione $ \mathbb{K}\subset \mathbb{L} $(per ora consideriamola ottenuta aggiungendo un solo elemento $ \alpha $ e dunque si scrive $ [tex] $\mathbb{L}=\mathbb{K}(\alpha)) è il minore tra i gradi dei polinomi a coefficienti in K che si annullano in alfa. Nel caso di prima, l'estensione di Q aggiungendo i ha grado 2, in quanto i non è razionale e dunque non c'è un polinomio di primo grado che si annulla in i.
I gradi sono moltiplicativi : se $ \mathbb{L}=\mathbb{K}(\alpha) $ e tale estensione ha grado a, $ \mathbb{K}=\mathbb{N}(\beta) $ e tale estensione ha grado b, allora esiste un elemento gamma tale che $ \mathbb{L}=\mathbb{N}(\gamma) $ e tale estensione ha grado a*b.
Ecco, adesso alcune cose che possono essere dimostrate ma che sono anche abbastanza credibili:
1) Interpretando il piano cartesiano come insieme dei numeri complessi (piano di Gauss, appunto), i punti a coordinate razionali formano un campo sotto le operazioni di somma e moltiplicazione di numeri complessi e sono proprio il campo $ \mathbb{Q}(i) $
2) I punti "costruibili" (= per i quali esiste una sequenza finita di operazioni con riga e compasso che, a partire dai punti 0 e 1, porti a trovarli) formano un campo sotto le operazioni di somma e moltiplicazione complesse.
[Basta trovare una costruzione geometrica che permette di sommare e moltiplicare, sottrarre e dividere]
3) Dato un insieme di punti del piano che formi un campo in cui tutti gli elementi siano costruibili, diciamo rette costruibili quelle che passano per almeno due punti di detto insieme e circonferenze costruibili quelle che hanno come centro un punto di tale insieme e passano per almeno un punto di tale insieme. Allora :
------a) intersecando due rette costruibili troviamo ancora un punto dell'insieme
------b) intersecando due circonferenze costruibili troviamo due punti che, se anche non stanno nell'insieme, sono però in una estensione di grado 2 (questo perchè, in geometria analitica, l'intersecare due circonferenze equivale a intersecare una circonferenza e una retta e quindi a risolvere un'equazione di 2° grado).
Tutto questo implica che un punto è costruibile se il numero complesso che lo rappresenta giace in una estensione di grado 2 di un precedente campo di numeri costruibili che avrà grado 2 come estensione di un precedente campo etc etc fino ad arrivare al campo dei numeri razionali, che sappiamo sicuramente tutti costruire. Quindi un punto è costruibile se sta in una estensione di grado $ 2^m $ dei razionali.
Ora, ultima cosa, costruire i vertici del n-agono regolare equivale a trovare le radici n-esime dell'unità in campo complesso; inoltre, l'mn-agono è costruibile se e solo se lo sono l'm-agono e l'n-agono. Quindi ci basta discutere il caso con n primo.
Si dimostra, con un po' di fatica, che, se chiamo $ \zeta_p $ una radice p-esima dell'unità nei complessi, il minimo tra i gradi dei polinomi a coefficienti razionali che si annullano su di lei è $ \phi(p)=p-1 $; dunque, se lo ho costruito, i suoi punti devono giacere in un'estensione di grado $ 2^m $. Del resto, quello che abbiamo detto implica che il grado dell'estensione deve essere $ \phi(p) $.
Tutto ciò porta a dire che $ p-1=2^m $ e si vede che questo è equivalente a chiedere che $ p=2^{2^k}-1 $.
Quindi tutti e soli i poligoni con numero di lati primo costruibili sono quelli in cui il numero di lati è un numero di Fermat.