Se p | (q^2 + 1) e q | (p^2 - 1), p+q+1 è composto
Se p | (q^2 + 1) e q | (p^2 - 1), p+q+1 è composto
Mostrare che, se p, q sono primi naturali t.c. $ p \mid (q^2 + 1) $ e $ q \mid (p^2 - 1) $, allora $ p+q+1 $ è composto.
allora:
$ q|(p^2-1) $
$ q|(p+1)(p-1) $
quindi o $ q|(p+1) $ divide o $ q|(p-1) $
1° caso: $ q|(p+1) $ $ \longrightarrow $ $ p+1=kq $, $ k\geq2 $
$ p+1+q=kq+q=q(k+1) $ e quindi abbiamo fatto
2° caso: $ q|(p-1) $ $ \longrightarrow $ $ p=kq+1 $, $ k\geq2 $
la seconda relazione diventa
$ kq+1|q^2+1 $
$ q^2+1=hkq+h $ con $ h<q $
$ q(q-hk)=h-1 $
e quindi h può essere uguale solo a 1
ritornando indietro
$ q^2+1=p $
se q è dispari, p è pari quindi 2, ma q diventerebbe 1 che non è un numero primo.
se q è pari quindi 2, p=3 e $ p+q+1=6=2\cdot3 $
e qui ho finito
ciao ciao
$ q|(p^2-1) $
$ q|(p+1)(p-1) $
quindi o $ q|(p+1) $ divide o $ q|(p-1) $
1° caso: $ q|(p+1) $ $ \longrightarrow $ $ p+1=kq $, $ k\geq2 $
$ p+1+q=kq+q=q(k+1) $ e quindi abbiamo fatto
2° caso: $ q|(p-1) $ $ \longrightarrow $ $ p=kq+1 $, $ k\geq2 $
la seconda relazione diventa
$ kq+1|q^2+1 $
$ q^2+1=hkq+h $ con $ h<q $
$ q(q-hk)=h-1 $
e quindi h può essere uguale solo a 1
ritornando indietro
$ q^2+1=p $
se q è dispari, p è pari quindi 2, ma q diventerebbe 1 che non è un numero primo.
se q è pari quindi 2, p=3 e $ p+q+1=6=2\cdot3 $
e qui ho finito
ciao ciao