una equazione diofantea

[blackdie]

$ 2^a+2^b=3^c+3^d $

Le soluzioni sono infinte?
Se no, quante?E' possibile trovarle tutte?


Ciao!
Grazie!

[Gauss_87]

Siano$ a,b,c,d \in N. $
Senza perdere in generalita':
$ a \geq b, c \geq d, a - b = \alpha \geq 0, c-d=\gamma \geq 0 $
$ 2^{b+\alpha} + 2^b = 3^{d+\gamma} + 3^d \Rightarrow \[2^b(2^\alpha+1)=3^d(3^\gamma+1)\] $
Caso 1) $ 2^b | 3^d $
Una potenza di 2 divide una potenza di 3 $ \Leftrightarrow 2^b=1 \Rightarrow b=0 $:
$ 2^\alpha + 1 = 3^d(3^\gamma + 1), $
a sinistra c'e' un Dispari mentre a destra un Pari.
Necessariamente $ 2^\alpha +1=2 \Leftrightarrow \alpha=0 \Rightarrow d=0,c=0. $
Quindi la prima soluzione vale:
$ S_1= \{(0,0,0,0) \} : 2^0 + 2^0 = 3^0 + 3^0. $

Caso 2) $ 2^b|3^\gamma +1 \Rightarrow 3^\gamma + 1 \equiv 0 \,\, (mod \,\, 2^b). $
$ 3^\gamma +1 $ e' una potenza di 2.
Un sistema completo di residui per la congruenza è $ 0,1,2,...,2^b-1. $
Visto che le potenze di un numero hanno residui periodoci,
nel suddetto sistema completo di residui, la congruenza e' soddisfatta se:
$ 3^\gamma + 1 = 1,2 \Leftrightarrow a) \gamma = 0, b = 1; b) \gamma = 1, b=2. $

a) $ \gamma = 0, b=1 \Rightarrow c-d=0 \Rightarrow c=d $:
$ 2^a + 2 = 2 \cdot 3^c \Rightarrow 2^{a-1} + 1 = 3^c. $
Analogamente a prima, considerando un sistema completo di residui,
e che le potenze hanno residui periodici:
$ 2^{a-1} + 1 = 3^c \Leftrightarrow 2^1 + 1 = 3, 2^3 + 1 = 3^2 $:
$ a-1 = 1 \Leftrightarrow a=2 \Rightarrow c=d=1 $;
$ a-1 = 3 \Leftrightarrow a=4 \Rightarrow c=d=2 $.

Si sono trovate, quindi altre due soluzioni:
$ \[ S_3 = \{ (0,0,0,0);(2,1,1,1);(4,1,2,2)\} \[ $.

b) $ \gamma = 1, b=2 \Rightarrow c=d+1 $:
$ 2^a + 4 = 3^{d+1} + 3^d \Leftrightarrow 2^a +4 = 4 \cdot 3^d $,
da cui si ricava che $ 4|2^a \Rightarrow a=2a' $:
$ 2^{2a'} + 4 = 4 \cdot 3^d \Rightarrow 2^{2(a'-1)} +1 = 3^d} \Leftrightarrow 2+1=3, 2^3+1=3^2 $
$ 2(a'-1)=1 \Leftrightarrow b=2, a=3 \Rightarrow d=1 \Rightarrow c=2 $;
$ 2(a'-1)=3 \Leftrightarrow b=2, a=5 \Rightarrow d=2 \Rightarrow c=3 $.

In totale ci sono 5 soluzioni:
$ \[ S_5 = \{ (0,0,0,0);(2,1,1,1);(4,1,2,2);(3,2,2,1);(5,2,3,2) \} \[ $

[blackdie]

grazie!

[ficus2002]

Caso 2) $ 2^b|3^\gamma +1 \Rightarrow 3^\gamma + 1 \equiv 0 \,\, (mod \,\, 2^b). $
$ 3^\gamma +1 $ e' una potenza di 2.
Un sistema completo di residui per la congruenza è $ 0,1,2,...,2^b-1. $
Visto che le potenze di un numero hanno residui periodoci,
nel suddetto sistema completo di residui, la congruenza e' soddisfatta se:
$ 3^\gamma + 1 = 1,2 \Leftrightarrow a) \gamma = 0, b = 1; b) \gamma = 1, b=2. $

non riesco a capire questo passaggio...qualcuno mi può aiutare?