Un quadrato ha più divisori congrui a 1 mod 4.
Lo si può vedere procedendo per induzione.
Si consideri l’insieme k_0 di ennesime potenze pari di numeri primi (cioè del tipo p_0^a_0 con a_0 pari):
Se p_0 è congruo a 2 mod 4, allora p_0^a_0 avrà 1 divisore congruo a 1 mod 4 e nessuno congruo a 3 mod 4.
Se p_0 è congruo a 1 mod 4, allora tutti i divisori di p_0^a_0 saranno congrui a 1 mod 4.
Se p_0 è congruo a 3 mod 4, allora p_0^a_0 avrà (a_0)/2+1 divisori congrui a 1 mod 4 (le potenze pari) e (a_0)/2 congrui a 3 mod 4 (le potenze dispari).
Quindi la tesi è sempre verificata per k_0.
Si supponga quindi che l’insieme k_n di numeri del tipo p_0^a_0*p_1^a_1*...*p_n^a_n con a_i pari soddisfi suddetta proprietà.
Si tratta di dimostrare che essa vale anche per k_(n+1).
Ma siccome per ottenere i divisori di k_(n+1) è sufficiente moltiplicare tutti i divisori di k_n per tutti quelli di p_(n+1), e per ipotesi ci sono più divisori congrui a 1 mod 4 per k_n, così come per p_(n+1) secondo quanto dimostrato per k_0, allora la tesi è verificata.
