Dubbi per esame imminente

[Loredana]

Dovrei affrontare l'esame di algebra lineare tra un paio di giorni e dei dubbi mi assillano su alcune esercitazioni!!
Vi posto degli esercizi di cui non sono sicura.. grazie in anticipo a chi mi risponderà!


Siano v e w due vettori lineramente indipendenti di R3. Allora il vettore (λv +w)X (λw + v)
e diverso da zero per ogni numero reale λ. (X è il simbolo di prodotto vettoriale)

Due vettori di R6 sono sempre linearmente dipendenti?

Siano u e v due vettori di Rn. Allora ||u+v|| al quadrato = ||u|| al quadrato + ||v|| al quadrato + 2uv ??
Dove ||u+v|| al quadrato è la norma al quadrato

Un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite ammette sempre soluzioni??

GRAZIEEEE ANTICIPATE se volete posso lasciare la mail per contatto

[Marco]

Dovrei affrontare l'esame di algebra lineare tra un paio di giorni e dei dubbi mi assillano su alcune esercitazioni!!
Vi posto degli esercizi di cui non sono sicura.. grazie in anticipo a chi mi risponderà!

Ciao Loredana e benvenuta sul Forum.

Siano v e w due vettori lineramente indipendenti di R3. Allora il vettore (?v +w)X (?w + v)
e diverso da zero per ogni numero reale ?. (X è il simbolo di prodotto vettoriale)

Falso. Se sviluppi il prodotto quella roba diventa

$ $\lambda^2 v \times w + w \times v = \left( \lambda^2 - 1 \right) v \times w $

e se $ \lambda = \pm 1 $, fa 0.

Due vettori di R6 sono sempre linearmente dipendenti?

No. Sei in uno spazio di dimensione 6, quindi riesci ad avere fino a 6 vettori linearmente indipendenti.

Siano u e v due vettori di Rn. Allora ||u+v|| al quadrato = ||u|| al quadrato + ||v|| al quadrato + 2uv ??
Dove ||u+v|| al quadrato è la norma al quadrato

Vero. $ |u+v|^2 = (u+v) \cdot (u+v) = u \cdot u + u \cdot v + v \cdot u + v \cdot v $. Il prodotto interno (scalare) è commutativo, quindi torna.

Un sistema lineare di 3 equazioni in 2 incognite ammette sempre soluzioni??

Falso. $ x=0 \wedge x=1 $ non ha soluzioni.

[Loredana]

Grazie Marco.. gentilissimo.. sarò ben felice di far parte di questo forum