Phi = n/3

[Gauss_87]

Per quali valori di $ n $ si ha:
$ \phi (n) = \frac{n}{3} $?
Trovare un valore di $ n $ tale che
$ \phi (n) < \frac{n}{5} $.

Bye

[evans]

Non mi è molto chiara la traccia... con $ \phi (n) \: $ cosa intendi?

[Gauss_87]

$ \phi(n) $ è la conosciutissima funzione che ad ogni $ n \in N $ associa il numero di interi coprimi ad $ n $ ma minori dello stesso.

[evans]

Davvero? E' così conosciuta? Mamma quanto sono ignorante

[HiTLeuLeR]

Per quali valori di $ n $ si ha:
$ \phi (n) = \frac{n}{3} $?

Dev'essere $ \displaystyle\frac{1}{3} = \frac{\varphi(n)}{n} = \prod_{p \;\!\mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) $. Pertanto $ 3 \mid n $ e $ 3 = \max\{p \in \mathfrak{P}: p \mid n\} $. D'altra parte $ v_2(1/3) = 0 $, per cui necessariamente $ 2 \mid n $, viz $ n = 2^a \cdot 3^b $, dove $ a, b \in \mathbb{Z}^+ $. E in effetti $ \varphi(2^a \cdot 3^b) = 2^a \cdot 3^{b-1} = n/3 $, se $ a, b \in \mathbb{Z}^+ $.

[HiTLeuLeR]

Trovare un valore di $ n $ tale che
$ \phi (n) < \frac{n}{5} $.

Se $ \{p_i\}_{i \ge 1} $ è la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi naturali, vale $ \displaystyle\prod_{i=1}^\infty \left(1-\frac{1}{p_i}\right) = 0 $. Dunque esiste $ v \in \mathbb{Z}^+ $ tale che, per ogni intero $ n \ge v $, $ \displaystyle P_n := \prod_{i=1}^n \left(1-\frac{1}{p_i}\right) < \frac{1}{5} $. E adesso si tratta di fare giusto qualche conto per scoprire che $ \displaystyle P_5 > \frac{1}{5} > P_6 $.