Automorfismi dei diagrammi di Cayley

[ficus2002]

Sia $ G $ un gruppo finitamente generato dagli elementi $ a,b $. Siano $ A=\langle a \rangle $ e $ B=\langle b \rangle $ e supponiamo $ A\cap B=\langle 1\rangle $ e i gruppi A e B non sono isomorfi (i.e a e b hanno oordini diversi).

Definiamo le seguenti relazioni in $ G $. Per ogni $ g_1,g_2\in G $:

$ g_1 \delta _a g_2 \iff g_2=g_1a $
$ g_1 \delta _b g_2 \iff g_2=g_1b $
$ g_1 \delta g_2 \iff g_2=g_1a\lor g_2=g_1b $

Se $ X $ è un insieme e $ r $ è una relazione in $ X $, $ Aut(X,r) $ è il gruppo delle corrispondenze biunivoche $ \rho $ di $ X $ in sè tali che $ xry \iff \rho (x)r\rho (y) $.

In generale
$ Aut(G,\delta _a)\cap Aut(G, \delta _b) \leq Aut(G,\delta) $.

Si può dimostrare che se $ G $ è abeliano allora sopra vale l'uguaglianza. Esistono, però, gruppi non abeliani per i quali vale l'uguaglianza (per esempio $ G=\langle a,b\mid ab=ba^2,b^2=1\rangle $).

La domanda è: si possono caratterizzare i gruppi G per i quali vale l'ugualianza?