Phi, Somma dei Divisori e Numero di Divisori di un Numero

[Gauss_87]

Dimostrare che $ n \in N $ è primo se e solo se:
$ \sigma (n) + \phi(n) = n \cdot d(n) $,
dove $ \sigma(n) $ sta per la somma dei divisori di $ n $, $ \phi(n) $ è il numero di coprimi a $ n $ e minori dello stesso, $ d(n) $ è il numero dei divisori di $ n $.

Ciao

[goedelgauss]

Un numero primo ($ p $) ha per definizione sè stesso e 1 come divisori,da cui $ \sigma(p)=p+1 $ e $ d(x)=2 $.
$ \phi(p)=p-1 $,cioè i suoi precedenti.Da cui la tesi.

Si può anche svolgere sfuttando le proprietà dell'implicazione,ma le considerazioni finali sono le stesse.

(Fa piacere trovare un'altro 87 con passione per il divin GAUSS)

[HumanTorch]

Così si è dimostrato che vale per i primi. La parte difficile è dimostrare che vale SOLO per i primi

[HiTLeuLeR]

Se $ n $ è primo, banalmente $ \sigma(n) + \varphi(n) = 2n = n \cdot d(n) $. Se poi $ n = p^\alpha $, dove $ p \in \mathfrak{P} $ ed $ \alpha > 1 $ è un intero, allora $ \sigma(n) + \varphi(n) = n \cdot d(n) $ sse $ 1 + p + \ldots + p^\alpha + p^{\alpha-1}(p-1) = (\alpha +1)p^\alpha $, i.e. soltanto se $ 1 \equiv 0 \bmod p $, assurdo! Sia perciò nel seguito $ n = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $, dove $ r \ge 2 $ è un intero; $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ sono primi naturali a due a due distinti e $ \alpha_i \in \mathbb{Z}^+ $, per ogni $ i \in \overline{1, r} $. Vale $ \displaystyle d(n) = \prod_{i=1}^r (1 + \alpha_i) \ge 2^r $ e $ \displaystyle\frac{\sigma(n)}{n} +\frac{\varphi(n)}{n} < \prod_{i=1}^r \frac{p_i}{p_i - 1} + \prod_{i=1}^r \frac{p_i - 1}{p_i} < 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{r-1} + \frac{1}{2} $.

Eppure $ \displaystyle 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^k + \frac{1}{2} \le 2^{k+1}$ sse $3^k + 2^{k-2} \le 4^k $, i.e. se $ 3^{k-1} \le 4^{k-1} $, che certamente è vero per ogni $ k \in \mathbb{Z}^+ $. Ne risulta $ \sigma(n) + \varphi(n) < n \cdot d(n) $. Infine $ \sigma(1) + \varphi(1) = 2 \ne 1 = 1 \cdot d(1) $.

[goedelgauss]

Forse non è più semplice dire che $ \phi(n)+d(n)=n+1 $,da cui:

$ \sigma(n)=(n+1)d(n)-n-1 $
da cui estraendo dai divisori n e 1:
$ n+1+\sigma'(n)=(n+1)d(n)-n-1 $,$ 2n+2+\sigma'(n)=(n+1)(d'(n)+2) $
Dove $ \sigma'(n) $ è la somma dei divisori esclusi 1 e n ,e $ d'(n) $ è il numero di divisori esclusi 1 e n.
Donde:$ \sigma'(n)=(n+1)d'(n) $ che ha soluzione solo con i membri uguali a 0 (cioè con n primo), infatti :
$ \displaystyle\sigma'(n)/d'(n)=n+1 $ che è assurdo perchè è la media dei divisori "interni" e deve essere compresa fra 1 e n

[HiTLeuLeR]

Forse non è più semplice dire che $ \phi(n)+d(n)=n+1 $ [...]

E' uno scherzo o cosa?! Questa identità l'è vera se $ n $ è primo. Altrimenti è follia allo stato puro...

[HiTLeuLeR]

Oh, c'è una via più semplice: per ogni intero $ n \ge 2 $, vale $ n d(n) - \sigma(n) = \sum_{d\;\! \mid n} (n-d) \ge n - 1 \ge \varphi(n) $, dove sussiste l'uguaglianza sse $ n \in \mathfrak{P} $. Goooooooood...

[goedelgauss]

Hoops, ho capito adesso cosa è $ \phi(n) $.


(Comunque se fosse stato diversamente sarebbe stato elegante....... )

[HiTLeuLeR]

...se quel tal non fosse morto, oggi ancor sarebbe vivo, certo...