Coming back from Winter Camp...

[Simo_the_wolf]

Dalla dispensa di Hojoo Lee:

$ \displaystyle x_1\geq x_2 \geq x_3\geq ... \geq x_n $

$ \displaystyle x_1+x_2+x_3+...+x_n=0 $

$ \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2 + nx_1x_n \leq 0 $

[Santana]

Dalla dispensa di Hojoo Lee:

$ \displaystyle x_1\geq x_2 \geq x_3\geq ... \geq x_n $

$ \displaystyle x_1+x_2+x_3+...+x_n=0 $

$ \displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2 + nx_1x_n \leq 0 $

Ma leggo bene? Le prime 2 righe sono le ipotesi, e la terza la tesi da dimostrare?

Poi nulla nega che $ nx_1x_n $ sia positivo, e allora come fa l'ultima riga a essere negativa? Siamo nel campo dei complessi?

[EvaristeG]

Beh, la somma fa 0, quindi alcuni termini saranno negativi, altri positivi, ma poichè x_1 è il più grande, sarà certamente positivo e poichè x_n è il più piccolo sarà certamente negativo, quindi nx_1*x_n è negativo, per ogni scelta di n numeri che soddisfano le prime due righe di ipotesi.

[Simo_the_wolf]

Up!!

[Simo_the_wolf]

Visto che a nessuno interessa... Posto la mia banalissima soluzione...

Abbiamo che è sempre vero che $ x_1-x_i\geq 0 $ e $ x_n-x_i\leq 0 $ in quanto $ x_1 $ e $ x_n $ sono rispettivamente il massimo ed il minimo.

Quindi $ (x_1-x_i)(x_n-x_i) \leq 0 $. Sommando tutto abbiamo:

$ nx_1x_n - (\sum x_i)x_1- (\sum x_i)x_n + \sum x_i^2\leq 0 $

Sfruttando l'ipotesi $ \sum x_i =0 $ Otteniamo la tesi:

$ \sum x_i^2 + nx_1x_n \leq 0 $.

L'uguaglianza si ha solo quando $ x_i \in \{ x_1, x_n\} $ quindi in particolare quindi dovremmo avere che $ kx_1 = -jx_n $ dove $ k,j $ sono numeri naturali e $ k+j=n $.