TdN/Analisi: x_n = min x t.c. n | x, sum 1/((x_n+1)x_n)

[HiTLeuLeR]

L'ho postato altrove, ma nessuno gli ha risposto. Chissà che qui non possa trovare finalmente chi lo degni delle attenzioni che si merita...

-> Posto $ x_n := \min\{x \in \mathbb{Z}^+: n \mid x(x+1)\} $, per ogni $ n\in\mathbb{Z}^+ $, stabilire se la serie $ \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{x_n(x_n + 1)} $ è convergente.

EDIT: eh, certo che HT non capiva!

[HumanTorch]

scrivendo $ \frac{1}{n(n+1)}=0.5 \cdot \frac{2}{n(n+1)}+2-2=\frac{(n+1)^2+n^2}{(n+1)n}=\frac{n+1}{n}+\frac{1}{\frac{n+1}{n}}-2 $ che oltre a essere un quadrato può essere scritto come $ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $}(o sommiamo due elementi consecutivi e notiamo che passiamo da $ \frac{1}{n(n+1)}\to\frac{2}{(n+1)(n+3)} $, quindi $ \frac{t}{(n+1)(n+t+1)} $by induction). Ma il minimo dei naturali che sono multipli di un dato n non è n stesso? la successione telescopica ci da $ 1-\frac{1}{n+1} $ che per $ n\to \infty $ è 0. Sto sbagliando qualcosa?

[HiTLeuLeR]

Ma il minimo dei naturali che sono multipli di un dato n non è n stesso? [...] Sto sbagliando qualcosa?

Sorry, i feel so! Indeed $ x_6 = 2 $, just for your acknowledgment...

[HumanTorch]

aaah, scusasse, ma allora è x|n...

[HiTLeuLeR]

Deh, pardon, mi son perso per strada un pezzo della traccia (e il fatto grave è che soltanto adesso me ne rendo conto!): provvedo subito a rimediargli.

[HumanTorch]

Deh, pardon, mi son perso per strada un pezzo della traccia (e il fatto grave è che soltanto adesso me ne rendo conto!): provvedo subito a rimediargli.

Si figuri