sembra facile...ma attenzione
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Stabilire quali sono le basi $ a $ di logaritmi per le quali, qualunque sia $ x>0 $ ($ x $ reale) , risulta $ log_a x<x $.
Uhm... in fondo non è difficilissimo, se ci sono riuscito io... sempre che abbia imbroccato la giusta soluzione, eh! Cominciamo...
Considero la base $ a $ del nostro logaritmo:
1. $ 0<a<1 $. Direttamente per via grafica, si consideri semplicemente che, per $ x \rightarrow 0 $, $ \log_a x \rightarrow +\infty $ mentre la nostra retta tende a 0. In base a quanto detto, dunque, per $ 0<a<1 $ la disuguaglianza $ \log_a x <x>1 $. Poniamo, per comodità:
$ f(x)=\log_a x $
$ g(x)=x $
a. Si può provare con facilità che la $ f(x) $ ha la concavità rivolta verso il basso per $ \forall x $.
b. Per il punto di ascissa $ x_0 $, valga $ f'(x_0)=g'(x_0) $ (insomma, che in quel punto le due curve abbiano stesso coefficiente angolare). Da qui, imponiamo $ f(x_0) < g(x_0) $. In tal caso, per ogni $ x \geq x_0 $, varrà sempre $ f(x)<g(x) $ (la disuguaglianza vale, a maggior ragione, per $ x<x_0 $). Ciò si può provare intuitivamente considerando quanto detto nel punto a. [la curva logaritmica "tende a crescere meno" rispetto alla retta, che ha crescita fissa, quindi tende ad "allontanarsi" dalla retta a mano a mano che la derivata prima della curva decresce], oppure anche verificando la crescenza della funzione differenza tra le due curve, mostrando che la funzione cresce sempre dopo che si è toccati il punto $ x_0 $ di uguale derivata [e, altresì, diminuisce nei punti $ x<x_0 $, senza però mai raggiungere lo 0, a comprova del fatto che $ f(x) < g(x) $ sussiste per $ \forall x $, sempre ferme restando le condizioni già poste].
Operando in base a quanto detto:
$ f'(x)= \frac {1}{x} \cdot \log_a e $
$ g'(x)=1 $
$ f'(x_0)=g'(x_0) $
$ \frac {1}{x_0} \cdot \log_a e = 1 $, da cui $ x_0=\log_a e $
Da cui:
$ f(x_0)=\log_a {(\log_a e)} $
$ g(x_0)=\log_a e $
E, imponendo $ f(x_0)<g(x_0): $
$ \log_a {(\log_a e)} < \log_a e $
$ \log_a e < e $
$ e <a>\sqrt [e] {e} $
Per questi valori della base, dunque, la diseguaglianza $ \log_a x < x $ risulta sempre verificata.
Se vedete errori, scemenze o cose simili, dite pure!
EDIT:
Allora è giusto! Wow, il mio primo problema completamente risolto sul forum... [sai che roba..]
Considero la base $ a $ del nostro logaritmo:
1. $ 0<a<1 $. Direttamente per via grafica, si consideri semplicemente che, per $ x \rightarrow 0 $, $ \log_a x \rightarrow +\infty $ mentre la nostra retta tende a 0. In base a quanto detto, dunque, per $ 0<a<1 $ la disuguaglianza $ \log_a x <x>1 $. Poniamo, per comodità:
$ f(x)=\log_a x $
$ g(x)=x $
a. Si può provare con facilità che la $ f(x) $ ha la concavità rivolta verso il basso per $ \forall x $.
b. Per il punto di ascissa $ x_0 $, valga $ f'(x_0)=g'(x_0) $ (insomma, che in quel punto le due curve abbiano stesso coefficiente angolare). Da qui, imponiamo $ f(x_0) < g(x_0) $. In tal caso, per ogni $ x \geq x_0 $, varrà sempre $ f(x)<g(x) $ (la disuguaglianza vale, a maggior ragione, per $ x<x_0 $). Ciò si può provare intuitivamente considerando quanto detto nel punto a. [la curva logaritmica "tende a crescere meno" rispetto alla retta, che ha crescita fissa, quindi tende ad "allontanarsi" dalla retta a mano a mano che la derivata prima della curva decresce], oppure anche verificando la crescenza della funzione differenza tra le due curve, mostrando che la funzione cresce sempre dopo che si è toccati il punto $ x_0 $ di uguale derivata [e, altresì, diminuisce nei punti $ x<x_0 $, senza però mai raggiungere lo 0, a comprova del fatto che $ f(x) < g(x) $ sussiste per $ \forall x $, sempre ferme restando le condizioni già poste].
Operando in base a quanto detto:
$ f'(x)= \frac {1}{x} \cdot \log_a e $
$ g'(x)=1 $
$ f'(x_0)=g'(x_0) $
$ \frac {1}{x_0} \cdot \log_a e = 1 $, da cui $ x_0=\log_a e $
Da cui:
$ f(x_0)=\log_a {(\log_a e)} $
$ g(x_0)=\log_a e $
E, imponendo $ f(x_0)<g(x_0): $
$ \log_a {(\log_a e)} < \log_a e $
$ \log_a e < e $
$ e <a>\sqrt [e] {e} $
Per questi valori della base, dunque, la diseguaglianza $ \log_a x < x $ risulta sempre verificata.
Se vedete errori, scemenze o cose simili, dite pure!
EDIT:
Allora è giusto! Wow, il mio primo problema completamente risolto sul forum... [sai che roba..]
Ultima modifica di Ani-sama il 18 apr 2006, 16:42, modificato 5 volte in totale.
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