Che nessuno si preoccupi, questo è davvero l'ultimo topic.
1) Calcolare $ \int_0^{\pi/2}\frac{sin^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx $
2) Dimostrare che $ \int_0^{2\pi}e^{cosx}cos(sinx)dx=2\pi $
SUGGERIMENTO: per 1) eseguire la sostituzione $ x=\pi/2-y $
per il 2) usare l'analisi complessa.
Due integrali non standard
2) consideriamo la funzione di variabile complessa $ f(z)=\frac{e^z}{z} $ e il cerchio $ c : |z|=1 $.
Dalla formula integrale di Cauchy segue che
$ \int_c \frac{e^z}{z}dz=2\pi i $
Ora, poichè su $ c $ $ z=e^{ix} , 0<=x<=2\pi $ e $ dz=ie^{ix}dx $, l'integrale diventa
$ i\int_{0}^{2\pi}e^{e^{ix}}dx=2\pi i $, e applicando la formula di Eulero si ha
$ \int_{0}^{2\pi}e^{cosx}cos(sinx)dx+i\int_{0}^{2\pi}e^{cosx}sin(sinx)dx=2\pi $
da cui segue l'asserto.
Dalla formula integrale di Cauchy segue che
$ \int_c \frac{e^z}{z}dz=2\pi i $
Ora, poichè su $ c $ $ z=e^{ix} , 0<=x<=2\pi $ e $ dz=ie^{ix}dx $, l'integrale diventa
$ i\int_{0}^{2\pi}e^{e^{ix}}dx=2\pi i $, e applicando la formula di Eulero si ha
$ \int_{0}^{2\pi}e^{cosx}cos(sinx)dx+i\int_{0}^{2\pi}e^{cosx}sin(sinx)dx=2\pi $
da cui segue l'asserto.
1) indichiamo con $ I $ l'integrale che si vuole calcolare.
con la sostituzione $ x=\pi/2-y $ si ha
$ I=-\int_{\pi/2}^{0}\frac{cos^{100}y}{sin^{100}y+cos^{100}y}dy=\int_{0}^{\pi/2}\frac{cos^{100}y}{sin^{100}y+cos^{100}y}dy $.
$ 2I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx+\int_{0}^{\pi/2}\frac{cos^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx $=
=$ \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^{100}x+cos^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx $=
=$ \int_{0}^{\pi/2}1dx=\frac{\pi}{2} $
da cui si ha
$ I=\frac{\pi}{4} $.
con la sostituzione $ x=\pi/2-y $ si ha
$ I=-\int_{\pi/2}^{0}\frac{cos^{100}y}{sin^{100}y+cos^{100}y}dy=\int_{0}^{\pi/2}\frac{cos^{100}y}{sin^{100}y+cos^{100}y}dy $.
$ 2I=\int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx+\int_{0}^{\pi/2}\frac{cos^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx $=
=$ \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^{100}x+cos^{100}x}{sin^{100}x+cos^{100}x}dx $=
=$ \int_{0}^{\pi/2}1dx=\frac{\pi}{2} $
da cui si ha
$ I=\frac{\pi}{4} $.