Un gruppo di strani numeri primi

[Ani-sama]

Con un algoritmo informatico molto semplice, ho verificato che:
$ 131 $; $ 12421 $; $ 1235321 $; $ 123464321 $; $ 12345754321 $; $ 1234568654321 $; $ 123456797654321 $sono numeri primi. Si potrebbe notare come - lo dico molto banalmente - questi numeri siano ottenuti aggiungendo $ 1 $ alla "cifra centrale" di un corrispondente quadrato del tipo $ 111^2 $. Per dire: $ 111^2=12321 $, e $ 12421 $ è primo, da quanto ho informaticamente verificato.

Idee? Si può pensare di estendere in qualche modo quel "gruppo" di primi andando avanti in maniera similare? Chiedo a tutto il forum, finora queste qua sono per me solo mere "osservazioni".

Un saluto, e grazie!

[ficus2002]

nel caso $ (1111111111)^2=1234567900987654321 $ a quale cifra aggiungi $ 1 $? secondo la regolare dovrebbe essere $ 1234567901987654321 $ però è brutto. Prova a vedere quale è primo tra questi due:
$ 1234567901987654321 $ e $ 12345678911987654321 $

[Igor]

Di certo ti posso dire che la formula non produce solo numeri primi.Ad esempio,se il numero di partenza è formato da 15 cifre uguali ad 1,il numero ottenuto col tuo algoritmo è divisibile per 61,e dunque è composto.La divisibilità per 61 si verifica con un pò di congruenze,se vuoi ti posto i passaggi

[Ani-sama]

Il problema grosso, come si sarà capito, è che il fatto di "aggiungere uno alla cifra centrale" è una cosa intuitivamente comprensibilissima, ma che perde valore da quando si ha il numero $ 1234567900987654321 $. Avevo immaginato qualcosa ma non ho i miei fogli a portata di mano... se inventate qualcosa postate!!

[Igor]

Il problema grosso, come si sarà capito, è che il fatto di "aggiungere uno alla cifra centrale" è una cosa intuitivamente comprensibilissima, ma che perde valore da quando si ha il numero $ 1234567900987654321 $. Avevo immaginato qualcosa ma non ho i miei fogli a portata di mano... se inventate qualcosa postate!!

Scusa perchè perde di valore?Aggiungendo uno alla cifra centrale si ottiene il numero $ 1234567901987654321 $.Cosa c'è di strano?

Piu in generale,se il numero iniziale è formato da $ k $ cifre 1,il numero ottenuto col tuo algoritmo è

$ \displaystyle\frac{10^{2k}-61*10^{k-1}+1}{81}\displaystyle $

Si vede facilmente che se $ k $ è della forma $ 30h+15 $, il numero ottenuto è multiplo di 61.

[Ani-sama]

Non ci siamo capiti... perde di valore nel senso che non necessariamente si ottiene un numero primo. Quel sistema restituisce num. primi fino a $ 123456797654321 $, ma poi... è diverso, e per ottenere numeri primi manipolando le cifre in maniera simile a quanto si faccia fino a quel numero lì... non è più sufficiente aggiungere 1 alla cifra centrale, ecco, non so se mi spiego.

Chiedevo appunto se ci fossero idee in merito ad un'eventuale ampliamento di un insieme di primi siffatto... Non è "cosa si ottiene iterando l'algoritmo" la questione, quanto piuttosto sapere "quale sia (se esiste!) l'algoritmo per ottenere num primi... in quella maniera lì!"

[Igor]

Ok,avevo frainteso.Non penso sia possibile alcun ampliamento relativamente semplice al tuo procedimento.Credo infatti che,anche manipolando le cifre in maniera diversa arriveresti ugualmente a trovare dei numeri composti.

[Marco]

A me viene solo in mente che 131 in base 11 è divisibile per 5, quindi l'"algoritmo di generazione dei numeri primi" funziona solo in alcune basi fortunate.

[jordan]

Un qualcosa di simile e' determinare quanti sono i primi repunit, cioè della forma $\frac{1}{9}(10^n-1)$ per qualche intero positivo $n$; seppur la questione sembra ancora piu' facile, e' tutt'ora ancora un problema aperto.

Qui una lista dei piu' piccoli primi trovati di quel tipo; se poi invece il problema e' determinare una funzione della forma $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n{p_i(x)q_i(x)^{r_i(x)}}$ con $p_i,q_i,r_i$ polinomi non costanti a coefficienti interi, tali che $f(x) \in \mathbb{P}$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e $\lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty$ allora e' sufficiente notare che $f(x_0) \in \mathbb{P}$ implica $\displaystyle f(x_0) \mid f(x_0+k(f^2(x_0)-f(x_0))$ per ogni intero positivo $k$...