Tutti gli angoli e l'area, sapresti dirmi i lati?

[Boll]

E' un filo scolastico, ma credo stia comunque bene in geometria.

In un triangolo acutangolo, sono dai i tre angoli $ \alpha, \beta, \gamma $ e l'area $ S $. Trovare i tre lati.

[Ani-sama]

Uhm... tre lati da trovare, tre condizoni, giusto?

- La formula dell'area di Erone;

- Il teorema dei cosenit;

- Il teorema dei seni.

- si può pensare anche di eguagliare l'area ottenuta con Erone all'area ottenuta con $ \displaystyle{\frac{1}{2}}{ab\sin\gamma} $.

Dovrebbe bastare... dico bene o dico scemenze? Magari - anzi, sono sicuro - c'è una soluzione più rapida e più bella (questa mi sa di calcoloso), ma al momento non riesco a pensare ad altro...

[flanza]

calcolo area triangolo simile con lato unitario e proporzione?

[Leandro]

Si puo' fare anche cosi'.
Detto R il circoraggio (incognito) si ha:
$ a=2R\sin\alpha,b=2R\sin\beta,c=2R\sin\gamma $
Pertanto sara':
$ S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma=2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $
da cui :$ \displaystyle R=\sqrt{\frac{S}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}} $
e quindi sostituendo risulta:
$ \displaystyle a=\sqrt{\frac{2S\sin\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}},b=\sqrt{\frac{2S\sin\beta}{\sin\alpha\sin\gamma}},c=\sqrt{\frac{2S\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}} $
Leandro

[sprmnt21]

E' un filo scolastico, ma credo stia comunque bene in geometria.

In un triangolo acutangolo, sono dai i tre angoli $ \alpha, \beta, \gamma $ e l'area $ S $. Trovare i tre lati.

e se si conoscono solo i tre angoli di un trangolo, si possono ricavare l'area (e quindi?) i tre lati?

Potrebbe non sembrare ma il problema e' terra terra.

[Bacco]

Credo di aver capito che tu chieda se dati i soli angoli di un triangolo si possano determinare l'area e i lati. La risposta è no, perchè ogni classe di triangoli simili ha gli stessi angoli senza avere assolutamente la stessa area nè gli stessi lati.
Esempio banale: 3,4,5 e 6,8,10 hanno stessi angoli ma l'area del secondo è 4 volte quella del primo....

[Boll]

Ok, alla Leandro's. Io avevo pensato più o meno alla stessa cosa, in quanto a ciò che dice sprmnt, credo che Bacco abbia ragione, tutti i triangoli con tre angoli fissati sono invarianti per similitudine, ma hanno aree diverse.

EDIT: A volte l'alcool fa brutti scherzi

[EvaristeG]

...per similitudine, Boll, similitudine, non simmetria...

[sprmnt21]

Credo di aver capito che tu chieda se dati i soli angoli di un triangolo si possano determinare l'area e i lati. La risposta è no, perchè ogni classe di triangoli simili ha gli stessi angoli senza avere assolutamente la stessa area nè gli stessi lati.
Esempio banale: 3,4,5 e 6,8,10 hanno stessi angoli ma l'area del secondo è 4 volte quella del primo....

PerBacco oLeandro

Mai visto sulla FACCIA DELLA TERRA una cosa cosi'. Siete assolutamente sicuri di quello che sostenete?

[piever]

Per definire uno e un solo triangolo devi avere almeno i 3 lati oppure 2 lati e l'angolo fra essi compreso oppure 2 angoli e il lato fra essi compreso. Esistono infiniti triangoli simili con 3 angoli uguali, ma ovviamente cambia l'area.
@ sprmnt21: Ma era questo che stavi chiedendo?

[Ani-sama]

Ho provato a farlo operativamente... viene molto bene anche ad usare solo la formula dell'area $ A=\frac{1}{2}ab\sin \gamma $ messa a sistema con le varie equazioni ottenute dal teorema dei seni...

[sprmnt21]

Per definire uno e un solo triangolo devi avere almeno i 3 lati oppure 2 lati e l'angolo fra essi compreso oppure 2 angoli e il lato fra essi compreso. Esistono infiniti triangoli simili con 3 angoli uguali, ma ovviamente cambia l'area.
@ sprmnt21: Ma era questo che stavi chiedendo?

No! Mi riferisco a quello che ho scritto in MAIUSCOLO.

[Leandro]

Forse sprmnt21 si riferisce al fatto che ,essendo la Terra piu' o meno sferica,
per un triangolo adattato su di essa ( e quindi piu' o meno sferico) i rapporti
possono cambiare rispetto alla ordinaria geometria piana (ovvero a curvatura
nulla).
Sara' questo?
Leandro

[elianto84]

dimostrare che su una superficie sferica l'area di un triangolo dipende unicamente
dall'eccesso angolare (somma angoli interni meno un angolo piatto).