Premetto che sto cercando di trattare (per via abbastanza intuitiva) un argomento di cui non ho la minima idea... è solo che quando non ho niente da fare e da scrivere, mi scervello su questi argomenti
f(t) è una funzione continua da T (il 'tempo') in $ X \times Y $ (coordinate di un piano cartesiano).
Ora espongo i miei dubbi:
- come si definisce una specie di 'derivata' che esprima in gradi (radianti) l'inclinazione della tangente in ogni punto? Le tangenti verticali avrebbero $ \frac {\pi} {2} $ e così via...
- come si definisce (e calcola), questo 'integrale'? Cioò sapendo la pendenza della curva, trovare la curva
- come si definisce (e calcola) la lunghezza della curva?
- essendo una funzione da T in XxY, la curva può passare nello stesso punto più volte (fin qui nessun problema), delle funzioni diverse potrebbero avere la stessa forma, con 'velocità' diverse!
Ad esempio la funzione $ x(t) = 2t \qquad y(t) = 2t $ avrebbe la stessa forma di $ x(t) = t \qquad y(t) = t $ .
Allora io pensavo che, a partire dalla funzione che per dominio ha il tempo (proprio come idea intuiva), si potesse definire una funzione che per dominio ha L, la 'lunghezza' della curva (immaginara come un filo). Così potrò dire: dopo 3 unità, la curva si trova in (-4;5). Questa funzione g(l), calcolata da f(t) dovrebbe avere le proprietà: g(l) = f(t) tale che [lunghezza della curva fino a t] = l.
Ha senso questo?
Conoscendo la derivata di f(t), si può risalire a f(t) o solo a g(l)?
Comunque ho aperto questo stupido topic solo per vedere se le mie fantasticherie avevano qualche riscontro nella matematica che si studia.
Allora, la parte di matematica che risponde ai tuoi dubbi e sviluppa le tue pensate si chiama geometria differenziale delle curve :
considera un intervallo $ I $ della retta reale (anche infinito, una semiretta) aperto (che non contiene i propri estremi; considera una funzione $ f:I\to\mathbb{R}^2 $. Questo R^2 è proprio il tuo XxY, infatti ascissa e ordinata sono numeri reali, quindi l'insieme di tutte le coppie ascissa ordinata è l'insieme di tutte le coppie di numeri reali, ovvero RxR.
Questa funzione si può giustappunto scrivere come $ f=(x,y) $.Ovviamente $ x,y : I\to\mathbb{R} $ sono comunissime funzioni da R in R, quelle che sappiamo trattare. Diciamo che $ f $ è continua/derivabile/derivabile due volte/ etc se e solo se lo sono $ x,y $.
La derivata della $ f $ sarà la coppia delle derivate : $ f'=(x',y') $ ... questa coppia non va vista come un punto nel piano, ma, insieme all'origine, come un vettore, ovvero come una direzione, un'intensità e un verso; essa ti dice lungo quale direzione si muove la curva, in che verso e con che "velocità".
Le curve "belle", quelle facili da trattare, sono quelle in cui la $ f $ è derivabile almeno una volta con la derivata continua e per ogni $ t\in I $, $ (x'(t),y'(t))\neq (0,0) $, ovvero in cui non si annullano mai entrambe le componenti della derivata.
La retta $ x'(t)(x-x(t))+y'(t)(y-y(t))=0 $ è la retta tangente alla curva nel punto $ f(t) $. (La condizione di cui sopra, per le curve "belle", serve appunto a garantire che una retta tangente ci sia sempre).
La lunghezza di una curva si calcola formalmente con un processo di limite, inscrivendo nella curva delle poligonali che la approssimano sempre più ... alla fine, se la curva è "bella" risulta che la lunghezza della curva descritta da $ f $ quando il parametro (o il tempo) varia tra $ t_0 $ e $ t_1 $ è
$ \displaystyle{s(t_0;t_1)=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt} $
Molto intuitivamente, se consideri la curva come la traiettoria di un punto materiale, all'istante t, $ \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} $ è il modulo della sua velocità, quindi in un intervallo di tempo abbastanza piccolo attorno a t, chiamiamolo $ \Delta t $, il punto avrà percorso più o meno uno spazio pari a velocità all'istante t per intervallo di tempo, quindi
$ \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}(\Delta t) $
Se ora dividi tutto l'intervallo $ [t_0,t_1] $ in piccoli intervallini attorno a un po' di punti e fai questo conto su ogni intervallino, li puoi sommare e poi puoi far tendere il numero di intervallini a infinito e la lunghezza di ognuno a 0, ottenendo la definizione di integrale e quindi la formula detta sopra.
(ATTENZIONE : questa non è una dimostrazione, è un'idea intuitiva del perchè sia vero).
L'idea che hai avuto tu di riparametrizzare la curva di modo che tra i parametri t e t_1 la curva abbia lunghezza t_1-t è una delle idee portanti della geometria differenziale delle curve e si chiama Parametrizzazione rispetto alla lunghezza d'arco (p.r.l.a.).
Questa cosa è comodissima perchè permette di svolgere in maniera molto semplice tanti calcoli relativi alla curvatura (quanto velocemente la curva si discosta dalla sua retta tangente) e alla torsione (quanto velocemente la curva esce da un piano) - quest'ultima esiste solo per le curve nello spazio.
Ad esempio, non è difficile vedere che il vettore $ f'=(x',y') $ ha modulo 1, se la curva f è p.r.l.a.
Per quanto riguarda l'angolo della tangente, puoi fare così : considera la tua funzione $ f:I\to\mathbb{R}^2 $ e il suo vettore derivata $ (x'(t),y'(t)) $; puoi definire una funzione $ \theta : I \to \{x^2+y^2=1\} $ come segue :
$ \theta(t)=\displaystyle{\left(\frac{x'(t)}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}, \frac{x'(t)}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}}\right)} $
Questa applicazione porta un punto dell'intervallo I in un punto della circonferenza unitaria centrata nell'origine; tale punto corrisponde appunto alla direzione che ha la tangente della curva in f(t). Ora è facile ricavare un angolo da un punto della circonferenza, basta combinare opportunamente arcoseno e arcocoseno.
Infine, se tu assegni una funzione $ h:I\to \mathbb{R}^2 $ tale che, per ogni $ t\in I $, $ h(t)\neq (0,0) $ e che sia derivabile con continuità (ci sarebbero ipotesi meno restrittive, ma lasciamo perdere), allora, fissato un punto $ p_0\in\mathbb{R}^2 $, esiste una e una sola curva $ f:I\to \mathbb{R}^2 $ che passa per $ p_0 $ e tale che $ f'=h $.
Questo viene dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie ed è una applicazione del problema di Cauchy : tu hai due equazioni differenziali del tipo :
$ \left\{\begin{array}{lcr}x'(t)&=&h_1(t)\\y'(t)&=&h_2(t)\end{array}\right. $
che sono dunque indipendenti l'una dall'altra e risolte (imposta la condizione iniziale di passare per il punto dato) danno un'unica curva.
Questo vale qualunque sia la curva parametrizzata, perchè la derivata f' tiene conto non solo della geometria della curva, ma anche della velocità usata per percorrerla. Per avere modi di descrivere la curva indipendenti dalla parametrizzazione, bisogna parlare di curvatura e lì allora si ha un sistema che si può risolvere in modo unico solo se si assume che la curva sia p.r.l.a.
Per farti un esempio, le tue due curve soddisfano a eq diff diverse :
$ x'(t)=1,\ y'(t)=1 $ con dato iniziale $ x(0)=y(0)=0 $
e
$ x'(t)=2,\ y'(t)=2 $ con dato iniziale $ x(0)=y(0)=0 $.
In termini di curvatura entrambe verrebbero descritte con $ k(t)=0 $, anche se poi la curva che si troverebbe risolvendo il sistema sarebbe del tipo
$ x(t)=\frac{1}{\sqrt{2}t},\ y(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}t $ (che è p.r.l.a., provare per credere) ...
Cmq qui la faccenda si fa lunga e complicata ... e si sono anche fatte le 3.30 di notte, quindi stacco e spero che questo sproloquio ti sia servito a qualcosa.
Ultima modifica di EvaristeG il 03 mar 2006, 15:06, modificato 1 volta in totale.
