distinzione casi di possibili forme di Jordan

[hexen]

ciao, ho da calcolare al variare di t le possibili forme di Jordan di $ $A=\left ( \begin{array}{ccc}{0&t&25\\0&0&1\\0&0&0\\}\end{array}\right )$ $

Il polinomio caratteristico viene $ p_A(x)=-x^3 $ e il polinomio minimo viene ad essere $ x^2 $ se t=0 oppure $ p_A(x) $ stesso se $ t\neq 0 $

Domanda 1: Per stabilirlo ho fatto bovinamente a mano il quadrato della matrice dato che erano molti zeri, si poteva evitare?

Continuando...
$ \dim \ker A = 1 \mbox{ se } t \neq 0 $ oppure $ \dim \ker A = 2 \mbox{ se } t = 0 $.

Se $ t\neq 0 $ abbiamo 1 blocco di Jordan con autovalore 0 di dimensione 3 ($ =\deg p_A(x) \mbox{ quando } t\neq 0 $ e quindi la forma di Jordan di A può essere una sola.

Se t=0 abbiamo 2 blocchi di Jordan di autovalore 0 ma...
La molteplicità dello zero nel polinomio caratteristico in questo caso è 2 ma una matrice 3x3 non può avere 2 blocchi 2x2... cosa c'è che non va?

Non ponendosi la suddetta domanda e sapendo che abbiamo 2 blocchi di Jordan con autovalore 0 può essere $ J_1 =\left ( \begin{array}{ccc}{0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\}\end{array} \right ) $ oppure $ J_2 =\left ( \begin{array}{ccc}{0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\}\end{array} \right ) $
(a lezione abbiamo usato la convenzione che gli uno stanno nella sottodiagonale)

Sono possibili sia $ J_1 $ che $ J_2 $ o una è esclusa?

ciao

[EvaristeG]

Uhm, scusa, ma non è evidente che sommando alla prima riga la seconda moltiplicata per -25 la matrice diventi :
$ \left(\begin{array}{ccc}{0&t&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right) $
e dunque in forma di Jordan a meno di moltiplicare la prima riga per 1/t ?

Se dunque t non è nullo vi è un solo blocco di Jordan, se invece t è nullo ve ne sono due. Infatti le operazioni che abbiamo fatto si esprimono tutte come cambi di base tramite matrici elementari.

Allora, per quanto riguarda il dubbio sulla molteplicità di zero nel polinomio caratteristico, tale polinomio è $ p_A(x)=x^3 $ e quindi la molteplicità di zero in zero è 3, non 2. Per conoscere la lunghezza del più grande dei blocchi di Jordan relativo ad un autovalore $ \lambda $ puoi calcolare l'indice di nilpotenza (l'esponente per cui fa zero) di $ A-\lambda I $ e in questo caso ottieni 3 se t non è zero e 2 se t è zero (per far questo non c'è metodo più furbo che il moltiplicare ripetutamente la matrice per se stessa, a meno che tu non veda a occhio, come ho detto prima, la forma di Jordan).

Per l'altra domanda, è detto su ogni libro che la forma di Jordan è unica a meno di permutazione dell'ordine dei blocchi, quindi quelle due matrici sono la stessa cosa.

[hexen]

Per l'altra domanda, è detto su ogni libro che la forma di Jordan è unica a meno di permutazione dell'ordine dei blocchi, quindi quelle due matrici sono la stessa cosa.

si infatti, solo che io me la immaginavo come permutazione di tanti blocchi uguali e non avevo pensato che potessero essere di dimensione diversa... ora torna