phi di eulero

[ficus2002]

dimostrare che se $ n $ ha al più $ 8 $ fattori primi distinti, allora $ \varphi (n)>\frac{n}{6} $

[darkcrystal]

Beh, riscriviamolo come $ \frac{\phi(n)}{n}>\frac{1}{6} $
Il membro sinistro diventa una produttoria del tipo $ \frac{p-1}{p} \cdot \frac{p_2-1}{p_2} \cdot ... $, che assume valore minimo per i primi 8 primi.
Tale valore è (calcolatrice alla mano) $ \frac{1.658.880}{9.699.690}> \frac{1}{6} $.
Per dimostrare che è il valore minimo basta considerare che, per p che tende a infinito, $ \frac{p-1}{p} $ tende a 1.
Ciao!