Ciao a tutti!
<BR>Dimostrare che il più piccolo intero k che contraddice la congetura di syracuse è congruo a 31 in modulo 384
<BR>
<BR>definiamo una f(x) con x naturale in questo modo: f(x)=3x+1 se x è dispari
<BR> f(x)=x/2 se x è pari
<BR>
<BR>reiteriamo la funzione sul risultato in modo da costruire una successione,denominata succ. di Stone.
<BR>Indichiamo con S(i;j) il j-esimo elemento della succ. a partire dal numero i.
<BR>
<BR>La congettura di syracuse afferma che per ogni h esiste k per cui S(h;k)=1
Congettura di Syracuse
Moderatore: tutor
vabbe dai oggi sono in vena posto tutto il ragionamento:
<BR>
<BR>Ammettiamo che la congettura sia falsa.
<BR>se è falsa esiste almeno una successione che è periodica (diversa da 1,2,4)oppure diverge ad infinito.
<BR>denominiamo k il più piccolo numero che appartiene ad una successione.
<BR>definiamo g(n) tale che g(n)=n/3-1/3 se n==4(mod 6) o g(n)=2n altrimenti.
<BR>
<BR>risulta chiaramente che k non è pari,infatti se k=2n allora f(k)=n con n più piccolo di k e appartenente alla successione che nega l\'enunciato: assurdo.
<BR>segue che k==3(mod 4) infatti se k=4n+1 allora f(f(f(k)))=3n+1
<BR>segue anche che k==3(mod 8 ) v k==7(mod 8 )
<BR>inoltre k==7(mod 16) v k==11(mod 16) v k==15(mod 16) poichè
<BR>16n+3 -> 48n+10 -> 24n+5 -> 72n+16 -> 36n+8 -> 18n+4 -> 9n+2
<BR>
<BR>k non è congruo a 2 in modulo 3 infatti se k=3n+2 allora g(g(k))=2n+1
<BR>segue che k==1(mod sei ) v k==3(mod sei )
<BR>da questo segue che k==3(mod 12) v k==7(mod 12)
<BR>e segue anche k==3(mod 24) v k==7(mod 24)
<BR>
<BR>e ora facciamo un po di cosette:
<BR>
<BR>combiniamo modularmente i risultati in modulo 24x16
<BR>otteniamo(con i dovuti conti) che
<BR>k==7(mod 384) v k==27(mod 384) v k==31(mod 384)
<BR>k==7 lo possiamo scartare fatti i dovuti conti
<BR>
<BR>combiniamo ora in modulo 12x8 e otteniamo che
<BR>k==3(mod 96) v k==7(mod 96) v k==15(mod 96) v k==91(mod 96)
<BR>
<BR>vediamo che c\'è un evidente assurdo poichè 384==0(mod 96)
<BR>dunque la congettura di syracuse è vera
<BR>
<BR>ah e oggi è il mio compleanno
<BR>
<BR>
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 09-12-2002 21:58 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 09-12-2002 23:11 ]
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<BR>Ammettiamo che la congettura sia falsa.
<BR>se è falsa esiste almeno una successione che è periodica (diversa da 1,2,4)oppure diverge ad infinito.
<BR>denominiamo k il più piccolo numero che appartiene ad una successione.
<BR>definiamo g(n) tale che g(n)=n/3-1/3 se n==4(mod 6) o g(n)=2n altrimenti.
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<BR>risulta chiaramente che k non è pari,infatti se k=2n allora f(k)=n con n più piccolo di k e appartenente alla successione che nega l\'enunciato: assurdo.
<BR>segue che k==3(mod 4) infatti se k=4n+1 allora f(f(f(k)))=3n+1
<BR>segue anche che k==3(mod 8 ) v k==7(mod 8 )
<BR>inoltre k==7(mod 16) v k==11(mod 16) v k==15(mod 16) poichè
<BR>16n+3 -> 48n+10 -> 24n+5 -> 72n+16 -> 36n+8 -> 18n+4 -> 9n+2
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<BR>k non è congruo a 2 in modulo 3 infatti se k=3n+2 allora g(g(k))=2n+1
<BR>segue che k==1(mod sei ) v k==3(mod sei )
<BR>da questo segue che k==3(mod 12) v k==7(mod 12)
<BR>e segue anche k==3(mod 24) v k==7(mod 24)
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<BR>e ora facciamo un po di cosette:
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<BR>combiniamo modularmente i risultati in modulo 24x16
<BR>otteniamo(con i dovuti conti) che
<BR>k==7(mod 384) v k==27(mod 384) v k==31(mod 384)
<BR>k==7 lo possiamo scartare fatti i dovuti conti
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<BR>combiniamo ora in modulo 12x8 e otteniamo che
<BR>k==3(mod 96) v k==7(mod 96) v k==15(mod 96) v k==91(mod 96)
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<BR>vediamo che c\'è un evidente assurdo poichè 384==0(mod 96)
<BR>dunque la congettura di syracuse è vera
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<BR>ah e oggi è il mio compleanno
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