Lanci parabolici (o quasi)

[Bacco]

Lancio una pallina a velocità $ v_0 $ con inclinazione $ \alpha $ sull'orizzontale. La pallina ha raggio $ r $, massa $ m $, l'aria ha viscosità $ \lambda $.

Determinare completamente la legge oraria del suo moto.

(Si trascuri la forza di Archimede)

[BMcKmas]

Nell'ipotesi che la forza viscosa sia proporzionale alla velocità (quindi basse velocità), posto:

$ k=6\pi \lambda r /m $


la legge oraria parametrica è

$ x(t)=\frac {v_o }{k}\cos \alpha (1-e^{-kt} ) $

$ y(t)=\frac {1}{k}(v_o \sin \alpha +\frac{g}{k})(1-e^{-kt} )-\frac{g}{k}t $


e la traiettoria dovrebbe avere equazione:


$ y=(v_o \sin \alpha +\frac{g}{k}) \frac{x}{v_o \cos \alpha}+\frac{g}{k^2} \ln (1-\frac{kx}{v_o \cos \alpha} ) $

Se le velocità sono elavate (e la resistenza dipende da una potenza maggiore di 1 della velocità) non credo si possano ottenere espressioni in forma chiusa della traiettoria.
La forza di Archimede può invece essere facilmente considerata, conoscendo il rapporto $ \rho $ tra la densità dell'aria e la densità media della sfera, sostituendo nelle formule a $ g $ il valore $ g(1-\rho) $ .

ciao

[NEONEO]

Ciao BM, non capisco più cose della tua risposta. Quindi invece che stare quì a chiedertele tutte, sarebbe meglio se invece scrivessi la risoluzione per intero oppure indicassi un sito dove trovarla...... sarebbe interessante. Io ho provato a scrivere la legge di Newton con la frza di Stokes, ma mi esce una roba diversa...

[tuvok]

Credo che la soluzione si basi sulla soluzione dell'equazione differenziale
$ \frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{g}-k\vec{v} $, che proiettata lungo gli assi da origine alle due seguenti
$ \frac{dv_x}{dt}=-kv_x $
$ \frac{dv_y}{dt}=g-kv_y $
Una volta ottenute le funzioni $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $, si ottengono $ x(t) $ e $ y(t) $ integrando in modo che $ x(0)=0 $ e $ y(0)=0 $, almeno credo...

P.S. Non mi sono chiare alcune cose della soluzione di BMcKMas: perchè $ x(0)\not=0 $? E poi, facendo tendere k a 0 non si dovrebbero ottenere le equazioni "ordinarie" ($ x(t) $ di primo grado in t e $ y(t) $ di secondo grado in t) ?

[BMcKmas]

Credo che la soluzione si basi sulla soluzione dell'equazione differenziale
$ \frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{g}-k\vec{v} $, che proiettata lungo gli assi da origine alle due seguenti
$ \frac{dv_x}{dt}=-kv_x $
$ \frac{dv_y}{dt}=g-kv_y $
Una volta ottenute le funzioni $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $, si ottengono $ x(t) $ e $ y(t) $ integrando in modo che $ x(0)=0 $ e $ y(0)=0 $, almeno credo...

P.S. Non mi sono chiare alcune cose della soluzione di BMcKMas: perchè $ x(0)\not=0 $? E poi, facendo tendere k a 0 non si dovrebbero ottenere le equazioni "ordinarie" ($ x(t) $ di primo grado in t e $ y(t) $ di secondo grado in t) ?

Il procedimento è corretto (a parte il segno di $ g $ nella terza equazione se prendi l'asse y verso l'alto ...$ \frac{dv_y}{dt}=-g-kv_y $).

Scorretta era invece giustamente la mia formula per la $ x $ (colpa del copia-incolla credo! ). L'ho corretta nella risposta originale. Grazie per l'indicazione.

Per il resto: cosa intendi per equazioni ordinarie? Intendi: equazioni non differenziali?

ciao

[NEONEO]

Caio, senti ma a me esce:
$ x(t)=-\frac{v_0}{k}\cos\alpha(e^{-kt}) $

[NEONEO]

Lo stesso per la y, nella parentesi dove c'è la costante di Nepero io non ho l'1. Infatti se provi a sostituire t=0 se usi le tue non viene la condizione iniziale

[Bacco]

Allora NEONEO....
Controllerò meglio la mia chilometrica soluzione (ho lasciato tutti i coeficienti espliciti, invece di usare k) ma credo a occhio che BMcKmas abbia ragione.

Nelle tue equazioni: x(0) non è 0, anzi la x è sempre negativa (poco credibile!)
Allo stesso modo y(0)=0 e pertanto deve comparire l'1 nella parentesi, perchè e elevato alla 0 fa sempre 1.

[NEONEO]

Bho, ho integrato l'equazione che ha anche scritto Tuvok, e l'1 non mi esce mai....

[NEONEO]

Che stupido, scusa, nella seconda integrazione mi sono dimenticato la costante arbitraria.....

[tuvok]

Per il resto: cosa intendi per equazioni ordinarie? Intendi: equazioni non differenziali?

Scusate, mi sono spiegato male, intendevo semplicemente
$ x(t)=v_0\cos{\alpha}\cdot t $
$ y(t)=v_0\sin{\alpha}\cdot t +\frac{1}{2}gt^2 $ (prendendo l'asse y orientato nel verso di $ \vec{g} $ )

[BMcKmas]

P.S. Non mi sono chiare alcune cose della soluzione di BMcKMas: ..... facendo tendere k a 0 non si dovrebbero ottenere le equazioni "ordinarie" ($ x(t) $ di primo grado in t e $ y(t) $ di secondo grado in t) ?

E' vero! Se fai tendere $ k $ a zero (quindi consideri mezzi sempre più rarefatti) si devono ottenere le equazioni del moto di Torricelli.

Ma questo torna con le espressioni date, devi usare lo sviluppo:

$ e^x=1+x+x^2/2+.... $

fare un po' di calcoli, andare al limite $ k \to 0 $ e trovi le equazioni classiche.

ciao

PS: io ho preso l'asse y orientato verso l'alto, questo spiega la differenza di segni!