Molla...con Massa!

[Gauss_87]

Dire come cambia la legge oraria di un punto materiale di massa $ m $ attaccatto ad una molla di lunghezza a riposo $ l_0 $ e massa $ M $ non trascurabile, nell'ipotesi che, in seguito ad una deformazione generica iniziale, allungamento e velocità iniziale generici rispettivamente $ x_0, v_0 $, la massa si muova su un piano orizzontale liscio, con l'altro estremo della molla attaccato ad una parete. Si supponga la molla omogenea, densità lineare di massa $ \rho_l $

[BMcKmas]

Scusa, questo problema te lo sei inventato?
Per come è formulato la condizione iniziale non è completamente definita: se la molla ha massa ed elasticità distribuite, dovresti indicare posizione e velocità di ogni suo punto all'inizio.
Comunque anche con tali dati, a meno di non accettare significative semplificazioni, il problema mi sembra piuttosto complesso da affrontare in forma analitica, visto che richiede la soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali.
Per effettuare semplificazioni è quindi necessario chiarire il fenomeno che vuoi esaminare. Puoi dare qualche ulteriore informazione?

ciao

[NEONEO]

Ce l'ho:
premetto che il latex lo odio. Quindi faccio tutto a parole.
Innanzi tutto la velocità iniziale è una rottura, quindi per semplificare all'inizio la prenderò uguale a zero.
Si considera dunque il principio di conservazione dell'energia, che dice che l'energia elastica della molla, cioè $ 1/2mv^2 $ si trasformerà in energia cinetica, ma non solo del corpo attaccato alla molla ma anche della stessa molla. Come si fa a trovare la frazione della mola. Si considera che la velocità di un infinitesimo di molla distante x dal punto di ancoraggio con il muro sia proporzionale a tale distanza, cioè $ v_f/L=v_x/x $ dove con $ v_f $ indico la velocità del corpo, cioè dell'estremo finale della molla e con $ v_x $ quella dell'infinitesimo. Dunque si sa che $ 1/2\Delta mv_x^2 $ è la sua energia cinetica, si integra da zero a $ L $e si ottiene che l'energia cinetica totale della molla è $ 1/6Mv^2 $. ora si applica il principio di conservazione e si ottiene $ K $, cioè la costante elastica e da esso la $ \Omega=\sqrt{\frac{K}{m+1/3M}} $ e quindi la legge oraria.
Dai un pò di impegno con il latex ce l'ho messo.....

[Gauss_87]

Ce l'ho:
premetto che il latex lo odio. Quindi faccio tutto a parole.
Innanzi tutto la velocità iniziale è una rottura, quindi per semplificare all'inizio la prenderò uguale a zero.
Si considera dunque il principio di conservazione dell'energia, che dice che l'energia elastica della molla, cioè $ 1/2mv^2 $ si trasformerà in energia cinetica, ma non solo del corpo attaccato alla molla ma anche della stessa molla. Come si fa a trovare la frazione della mola. Si considera che la velocità di un infinitesimo di molla distante x dal punto di ancoraggio con il muro sia proporzionale a tale distanza, cioè $ v_f/L=v_x/x $ dove con $ v_f $ indico la velocità del corpo, cioè dell'estremo finale della molla e con $ v_x $ quella dell'infinitesimo. Dunque si sa che $ 1/2\Delta mv_x^2 $ è la sua energia cinetica, si integra da zero a $ L $e si ottiene che l'energia cinetica totale della molla è $ 1/6Mv^2 $. ora si applica il principio di conservazione e si ottiene $ K $, cioè la costante elastica e da esso la $ \Omega=\sqrt{\frac{K}{m+1/3M}} $ e quindi la legge oraria.
Dai un pò di impegno con il latex ce l'ho messo.....

(Vada per $ v_0=0 $...)
Quindi sostieni che la legge oraria sarà la solita:
$ x(t) = x_0 \cdot cos(\Omega t) $, con Omega definito da te in quel modo?

[NEONEO]

non so, mi fai venire i dubbi, però credo di si se la velocità iniziale è uguale a zero. Perchè non è così?

[BMcKmas]

Ragazzi, il problema è già complesso con una molla ideale con lunghezza a riposo non nulla.
Consiglio: cominciate da lì.

ciao

[tuvok]

Credo il problema sia fattibile anche con $ v_0 $ non nulla: dall'equazione generale del moto armonico $ \frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x $ si ottiene la soluzione generale $ x(t)=A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t} $, dove le costanti $ A\, $ e $ B\, $ sono ricavabili dalle condizioni
$ x(0)=x_0 $
$ x'(0)=v_0 $

[Gauss_87]

allora BMcKMas, con una molla ideale il problema è molto semplice, risolvendo la differenziale (lineare!) di secondo grado:
$ x(t) = x_0 \cdot cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \cdot sin(\omega t) $, dove definisco $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $ la pulsazione.

La soluzione di Neo non mi soddisfa a pieno, magari perchè non ho ben compreso, perchè:
1 - l'equazione di partenza cui ti riferisci è (??):
$ kx^2 = MV_x^2 + mv_f^2 $, semplificando i fattori stupidi 1/2.
Ora integrare da 0 a L (lunghezza della molla) come dici te significa moltiplicare ambo i membri per dx, integrare, salta fuori $ k $ ma in funzione di $ v_f $ che ancora non conosciamo.
2 - la relazione di proporzionalità diretta che dici (velocità-distanza) da dove l'hai dedotta??

[BMcKmas]

Sarebbe così se la molla avesse una lunghezza a riposo nulla e il campo elastico, di conseguenza, fosse centrale. Ma dal tuo testo iniziale mi sembrava di capire che la molla dovesse avere una lunghezza a riposo non nulla e che potesse ruotare attorno al punto a cui è fissata, in modo che il corpo si potesse muovere nel piano con una velocità e una posizione iniziale qualsiasi.
Per questo, penso che il problema andrebbe formulato un po' meglio!

ciao

[Gauss_87]

no, la legge oraria x(t) che ho scritto si riferisce ha come origine del riferimento l'estremo della molla a riposo, e inoltre il moto è unidimensionale, non so se l'ho ben scritto, cmq se può semplificare i calcoli, partiamo da una v0 nulla.
Cmq ho chiesto spiegazioni alla mia prof che mi ha risposto: così su due piedi non lo so, ma non credo che la legge oraria della massa m cambi, al più cambia il coefficiente della molla k; non so se è quello che cercava di spiegare Neo...

[BMcKmas]

no, la legge oraria x(t) che ho scritto si riferisce ha come origine del riferimento l'estremo della molla a riposo, e inoltre il moto è unidimensionale, non so se l'ho ben scritto, cmq se può semplificare i calcoli, partiamo da una v0 nulla.
Cmq ho chiesto spiegazioni alla mia prof che mi ha risposto: così su due piedi non lo so, ma non credo che la legge oraria della massa m cambi, al più cambia il coefficiente della molla k; non so se è quello che cercava di spiegare Neo...

Allora facciamo un po' di chiarezza:

vuoi sapere come si muove un corpo attaccato a una molla avente massa distribuita e lunghezza a riposo quando è spostato dalla sua posizione di equilibrio di una quantità nota e all'inizio tutto è fermo ?

Il problema non è la presenza del v0 ma il fatto che in una molla con massa ogni suo punto può avere una velocità iniziale diversa (è un corpo deformabile!) quindi se non fornisci la condizione iniziale di ogni punto, il problema è indeterminato. Ma se dici che sono tutti fermi, allora lo specifichi.
La difficoltà inoltre è connessa al tipo di moto, un conto è se è unidimensionale (sull'asse della molla) un conto ben diverso è se il corpo si può muovere nel piano.

La tua prof. ha proprio risposto su due piedi (o meglio con i piedi): la costante della molla non cambia con la massa della molla! (talvolta penso che i Matematici non dovrebbero insegnare Fisica... ma in questo forum era meglio se stavo zitto!)

Se mi confermi l'interpretazione del problema, posso cercare di darvi una mano a interpretarlo e risolverlo.

ciao

PS ti chiedo ancora: ma questi problemi te li inventi?

[tuvok]

la relazione di proporzionalità diretta che dici (velocità-distanza) da dove l'hai dedotta??

Se tutti i punti della molla (di costante elastica $ K\, $) sono inizialmente fermi, e se la traiettoria di m è un segmento, allora la legge di diretta proporzionalità distanza dal vincolo/ velocità è determinabile così: supponendo che l'estremo a cui è collegata m sia sottoposto a una forza $ F\, $, tutti i punti della molla saranno anch'essi sottoposti alla medesima forza $ F\, $. Se la lunghezza a riposo della molla è $ l_0 $, un tratto della molla lungo $ x\, $ avrà costante elastica $ k=K\frac{l_0}{x} $. Un punto a distanza $ x\, $ dal vincolo subirà un allungamento $ \Delta l=\frac{Fx}{Kl_0} $, direttamente proporzionale a $ x\, $. Se l'allungamento direttamente proporzionale a $ x\, $ è ragionevole dedurre che anche la velocità in quel punto lo sia.

[NEONEO]

E' esattamente quello che intendevo, e Tuvok lo ha spiegato magistralmente....
Per quanto riguarda la prof....
In ogni caso, scusa Gauss, ma non capisco la tua obiezione, io ho semplicemente calcolato la nuova $ \omega $ e niente altro, tenendo conto della massa della molla e della sua energia cinetica..

[BMcKmas]

la relazione di proporzionalità diretta che dici (velocità-distanza) da dove l'hai dedotta??

....

E' un po' tardi e sono un po' stanco, ma perchè mi attribuisci questa affermazione?

[Gauss_87]

allora Neo potresti scrivere in tex i passaggi per ottenere la nuova omega senza saltarne nessuno e con chiarezza? così evito di interpretare male ciò che dc, grazie Forza Ragazzi!