Lemma carino

[darkcrystal]

Si provi che in un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, si ha
$ \displaystyle h_a=2p \cdot \frac{\cos \beta \sin \beta}{\cos \beta + \sin \beta + 1}=2p \cdot \frac{\cos \gamma \sin \gamma}{\cos \gamma + \sin \gamma+ 1} $, dove $ h_a $ denota la lunghezza dell'altezza uscente da A.

Ciao!

[jim]

Faccio la prima uguaglianza, la seconda è banale.

sia $ a $ l'ipotenusa. Utilizzo le notazioni standard dei triangoli rettangoli.

$ \displaystyle h_a=2p\cdot \frac {\cos\beta \sin\beta}{\cos\beta+\sin\beta+1} $
$ \displaystyle h_a=2p\cdot \frac {\sin\gamma \sin\beta}{\sin\gamma+\sin\beta+1} $
$ \displaystyle \frac{2S}{a}=2p\cdot \frac {\frac{2S}{ab}\cdot\frac{2S}{ac}}{\frac{2S}{ab}+\frac{2S}{ac}+1} $
$ \displaystyle \frac{2S}{a}=(a+b+c)\cdot \frac {\frac{4S^2}{a^2bc}}{\frac{2Sc+2Sb+abc}{abc}} $
$ \displaystyle \frac{1}{a}=\frac {(a+b+c)\cdot 2S}{a\cdot(2Sc+2Sb+2Sa)} $ che è un'identità.

[darkcrystal]

Invio anche la mia, molto più rapida...
$ 2p=(a+b+c)=a(1+\sin \beta + \cos \beta) $, che si semplifica, quindi $ h_a=a \cdot \sin \beta \cos \beta $ che è ovviamente vera (con la prima moltiplicazione si ottiene un cateto e con la seconda l'altezza)

Ciao!

[EvaristeG]

Si può procedere anche in molti altri modi, ad esempio :
diciamo R il raggio del cerchio circoscritto (ovvero, la semiipotenusa); allora avremo : $ S=2R^2\cos\beta\sin\beta $ (cateto per cateto diviso due)
inoltre, $ 2p=2R(\cos\beta+\sin\beta+1) $ quindi
$ $h_a=2S/a=2R\cos\beta\sin\beta=2p\frac{\cos\beta\sin\beta}{\cos\beta+\sin\beta+1}$ $.