triangolo imo
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Dato un triangolo e siano detti a,b,c i lati. Dimostrare che a^2+b^2+c^2>=4*(radq3)
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HumanTorch
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Re: triangolo imo
enry90 ha scritto:Dato un triangolo e siano detti a,b,c i lati. Dimostrare che a^2+b^2+c^2>=4*(radq3)
mmmh...sicuro che non ci siano altri dati? qualcosa su in/circo raggi, magari, perimetro, aree, punti notevoli? perchè altrimenti prendiamo un triangolo equilatero di lato 1
Enry90, l'obiezione di HT ha decisamente senso... 4sqrt3 da solo non basta.
Il testo originale del problema è
$ a^2+b^2+c^2\geq4 \sqrt3 A $
dove A è l'area del triangolo; nella tua formulazione devi almeno porre l'area uguale a 1...
Comunque, io l'avrei risolto così:
Per Carnot, $ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $.
Inoltre l'area si può scrivere come $ A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma $.
Sostituendo nella relazione di partenza ottieni
$ 2(a^2+b^2-ab\cos\gamma)\geq2\sqrt3ab\sin\gamma $
ovvero
$ a^2+b^2\geq ab(\sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma) $.
Si verifica facilmente che $ \sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma\leq 2 $, ad esempio facendo la derivata, o semplicemente sostituendo $ \sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma} $, da cui si ottiene $ \sqrt{3-3\cos^2\gamma}\leq 2-\cos\gamma $, ovvero $ 4\cos^2\gamma-4\cos\gamma+1\geq0 $, che è sempre vera.
Ci possiamo quindi ridurre a dimostrare
$ a^2+b^2\geq2ab $, che è banalmente verificata raccogliendo un quadrato.
Per il caso di uguaglianza dev'essere $ \sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma=2 $, quindi $ \gamma=\frac{\pi}{3} $; inoltre a=b. Si tratta perciò del triangolo equilatero.
Il testo originale del problema è
$ a^2+b^2+c^2\geq4 \sqrt3 A $
dove A è l'area del triangolo; nella tua formulazione devi almeno porre l'area uguale a 1...
Comunque, io l'avrei risolto così:
Per Carnot, $ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $.
Inoltre l'area si può scrivere come $ A=\frac{1}{2}ab\sin\gamma $.
Sostituendo nella relazione di partenza ottieni
$ 2(a^2+b^2-ab\cos\gamma)\geq2\sqrt3ab\sin\gamma $
ovvero
$ a^2+b^2\geq ab(\sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma) $.
Si verifica facilmente che $ \sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma\leq 2 $, ad esempio facendo la derivata, o semplicemente sostituendo $ \sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma} $, da cui si ottiene $ \sqrt{3-3\cos^2\gamma}\leq 2-\cos\gamma $, ovvero $ 4\cos^2\gamma-4\cos\gamma+1\geq0 $, che è sempre vera.
Ci possiamo quindi ridurre a dimostrare
$ a^2+b^2\geq2ab $, che è banalmente verificata raccogliendo un quadrato.
Per il caso di uguaglianza dev'essere $ \sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma=2 $, quindi $ \gamma=\frac{\pi}{3} $; inoltre a=b. Si tratta perciò del triangolo equilatero.
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enomis_costa88
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Sarà pure brutale ma è cortissima e non usa Carnot.
Sostituzione per i lati di un triangolo:
$ a=x+y $
$ b=y+z $
$ c=z+x $
per Erone: $ A= \sqrt{(x+y+z)xyz} $ .
Divido per due ottenendo:
$ (x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz) \ge 2 \sqrt{3(x+y+z)xyz} $
elevo al quadrato e moltiplico per due ambo i membri ottenendo:
$ \sum_{sym} x^4+3x^2y^2+4x^3y+4x^2yz\ge \sum_{sym}12x^2yz $
che è vera per il bunching.
Buone vacanze Simone.
Sostituzione per i lati di un triangolo:
$ a=x+y $
$ b=y+z $
$ c=z+x $
per Erone: $ A= \sqrt{(x+y+z)xyz} $ .
Divido per due ottenendo:
$ (x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz) \ge 2 \sqrt{3(x+y+z)xyz} $
elevo al quadrato e moltiplico per due ambo i membri ottenendo:
$ \sum_{sym} x^4+3x^2y^2+4x^3y+4x^2yz\ge \sum_{sym}12x^2yz $
che è vera per il bunching.
Buone vacanze Simone.
Sempre con Erone (in una formulazione particolarmente cara a Boll e particolarmente ignota a teppic), si poteva intraprendere questa strada :
$ $A=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)-2(a^4+b^4+c^4)}$ $
Quindi, sostituendo ed elevando al quadrato, si ha
$ $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)^2-6(a^4+b^4+c^4)$ $
Semplificando (due passaggi ovvi) si arriva a
$ $a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $
Si può notare che (*), grazie alla AM-GM :
$ \begin{array}{lcl}a^4+b^4&\geq&2a^2b^2\\b^4+c^4&\geq&2b^2c^2\\c^4+a^4&\geq&2c^2a^2\end{array} $
da cui, sommando, la disuguaglianza sopra ottenuta.
Quindi, invertendo il nostro ragionamento otteniamo la disuguaglianza iniziale, in quanto anche l'elevamento al quadrato è invertibile, visto che abbiamo ad entrambi i membri cose positive (un'area e una somma di quadrati).
(*) il primo che dice bunching, lo picchio.
$ $A=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)-2(a^4+b^4+c^4)}$ $
Quindi, sostituendo ed elevando al quadrato, si ha
$ $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)^2-6(a^4+b^4+c^4)$ $
Semplificando (due passaggi ovvi) si arriva a
$ $a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $
Si può notare che (*), grazie alla AM-GM :
$ \begin{array}{lcl}a^4+b^4&\geq&2a^2b^2\\b^4+c^4&\geq&2b^2c^2\\c^4+a^4&\geq&2c^2a^2\end{array} $
da cui, sommando, la disuguaglianza sopra ottenuta.
Quindi, invertendo il nostro ragionamento otteniamo la disuguaglianza iniziale, in quanto anche l'elevamento al quadrato è invertibile, visto che abbiamo ad entrambi i membri cose positive (un'area e una somma di quadrati).
(*) il primo che dice bunching, lo picchio.
quanto si vuole provare e' equivalente a provare che:phi ha scritto:
$ a^2+b^2\geq ab(\sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma) $.
Si verifica facilmente che $ \sqrt3\sin\gamma+\cos\gamma\leq 2 $,
$ \frac{\sqrt3}{2}\sin\gamma+\frac{1}{2}\cos\gamma\leq 1 $,
ovvero
$ \cos(\gamma-60)\leq 1 $
che e' ovviamente vera.