applicazione trasposta

[hexen]

ciao

a lezione abbiamo definito la trasposta nel seguente modo:

Sia un'applicazione lineare $ f:V\rightarrow W $
Poniamo $ f^*:W^* \rightarrow V^* $ che manda $ W^* \ni \phi \mapsto \phi \circ f $che definiamo l'applicazione trasposta di f. (con la star indico i duali)

Sul libro (Lang) è definita come l'applicazione tale che $ $\langle fv,w\rangle=\langle v,f^Tw \rangle$ $ con <,> una forma bilineare e v,w vettori.

io mi chiedo: perche se la trasposta è un'applicazione da un duale in un duale (definizione a lezione) perche il libro la calcola su un vettore?

[Marco]

L'idea che ci sta sotto è che, se fai variare v e w sugli elementi di basi fissate di V e W rispettivamente, gli scalari <fv> individuano in modo unico la f. Inoltre si usa il fatto che, fissata una base di V, allora puoi definire una base di V* come le applicazioni che mappano un elemento alla volta in 1 e il resto in 0.

Se fai tutte le identificazioni, scopri che le due definizioni sono equivalenti.

[hexen]

L'idea che ci sta sotto è che, se fai variare v e w sugli elementi di basi fissate di V e W rispettivamente, gli scalari <fv> individuano in modo unico la f.

ma la f è già definita

e poi cos'è <fv>?

[Marco]

E' il sito che fa le bizze: ho provato tre volte a correggere il messaggio, ma senza successo. Voleva essere <fv> [effe di vu virgola vu doppio].

Se f è già definita, allora quei numerelli sono determinati. Se invece i numerelli sono dati, allora esiste una unica possibile f. [credo ci voglia qualche ipotesi di non degenaracy sulla forma bilineare, ma se pigli il prodotto scalare standard vai sul velluto. Nota anche che se fissi le basi su V e W identifichi come si suole fare le applicazioni lineari con le matrici, la trasposta coincide con ...sorpresa!... la matrice trasposta.

[hexen]

se le basi di Ve W sono $ \{v_1,...,v_n\} \qquad \{w_1,...,w_m\} $ e se $ (x_1,...,x_n)^T \qquad (y_1,...,y_m)^T $ sono le coordinate di v e w allora $ $\langle fv,w \rangle = \langle \sum_{i=1}^n x_i fv_i,w \rangle = \sum_{i=1}^n x_i \langle fv_i,w \rangle$ $. Considerando anche w come combinazione lineare abbiamo
$ $\langle fv,w \rangle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_i y_j \langle fv_i,w_j \rangle$ $
Ora che tutto ha un nome quale numerelli intendi?

forse alludi a $ c_{ij}=\langle fv_i,w_j \rangle $ che è l'elemento i,j della matrice associata alla forma bilineare rispetto alle basi fissate?

p.s.: supponiamo che <,> non sia un prodotto hermitiano.

[hexen]

ho trovato la dimostrazione sull'Abate, che usa i seguenti passaggi:

Lemma 0: $ \langle Aa,x \rangle= \langle a,A^T x \rangle $ dove <,> è il prodotto scalare standard.
Dim: si vede facendo i conti.

Lemma 1: Se T è un'applicazione di V in W allora esiste un'applicazione $ T^*: W^* \rightarrow V^* $ tale che $ (\phi \circ T)v = (T^*\phi)v \qquad \forall \phi \in W^*,\forall v \in V $(1)

Siano ora fissate basi di V e di W e le basi duali di V* e W*.
Siano inoltre x,y,a le coordinate di v,w,$ \phi $.

Prop.: $ \phi w = \langle a,y \rangle $
Dim: Esprimere phi e w come combinazioni lineari e fare i conti usando il fatto che abbiamo una base duale.

Come conseguenza della proposizione abbiamo che, posta A la matrice associata a T,il primo membro della (1) è

$ $\phi(T(v)) = \langle a,Ax \rangle$ $

Sia inoltre A* la matrice associata a T*
abbiamo il secondo membro della (1):

$ $T^*(\phi)v = \langle A^*a,x \rangle$ $

Per la (1) "allargata" e il lemma 0 abbiamo la definizione del Lang

ma non ho capito una cosa: il fatto che si calcola $ T^*:W^* \rightarrow V^* $ su $ w \in W $ è quindi un' "illusione"??

@Marco:

perché hai menzionato i numerelli? avevi in mente una dimostrazione diversa?

[fph]

in dimensione finita V e V* sono isomorfi (basta scegliere una base e trasporre i vettori, per l'appunto), quindi spesso non ci si formalizza troppo a distinguerli.