bel problemino

[frengo]

siano dati due triangoli $ ABC $ e $ AMN $, orientati nello stesso verso, simili tra loro e isosceli.sia poi $ O $ il circocentro del triangolo $ ABM $.dimostrare che $ A,C,O,N $ sono conciclici(=stanno su una stessa circonferenza) se e solo $ ABC $ è un triangolo equilatero.

suvvia,questo è più facile...ciao ciao

[what]

Sia O_2 il circocentro di ACN; la condizione de punti conciclici diventa quindi $ O_2A=O_2O_1 $. Ma O_2 si ottiene da O_1 tramite una rotazione di centro A con angolo CAB, e quindi $ O_2A=O_2O_1 $ se e solo se $ \widehat {O_2AO_1}=60° $, ossia ABC e AMN sono equilateri

per quanto riguarda il triangolo vietnamita a me vengoo un mare di conti... sono riuscito ad uscirne ma è davvero un'orrenda soluzione
se mi assicuri che esiste una soluzione decente continuo a cercarla, altrimenti lascio perdere
ciao!

[Simo_the_wolf]

mmm a me viene che sono conciclici sse AB è base o se $ ABC $ è equilatero.
Chiamando $ O_1 $ e $ O_2 $ i circocentri di $ AMB $ e $ ANC $ abbiamo che se chiamamo $ T(X) $ la rotomotetia che manda C in B di centro A, abbiamo che $ T(C)=B $, $ T(N)=M $ e $ T(A)=A $. Quindi $ T(O_1)=O_2 $ e quindi $ O_1O_2A $ è isoscele di base $ AO_1 $ se $ AB $ era base e quindi ci va bene altrimenti abbiamo che è isoscele ma non di base $ AO_1 $ e quindi abbiamo che deve essere $ ABC $ equilatero.

[what]

si in effetti ho dato per scontato che BC sia la base del triangolo isoscele.
ma allora mi sa che è scorretta la traccia di francesco... forse doveva specificare che BC fosse la base.

[frengo]

no credo che la base fosse proprio $ BC $ (e quindi $ MN $)

ok per le soluzioni,per il triangolo vietnamita anche x me è un pò contosa la soluzione,ma non troppo(mi creo prima il lemmino utile)

ciao ciao