Ancora Test d'Ammissione Anni 90-1...

[sqrt2]

Considerare nello spazio euclideo nove punti distinti a coordinate intere. Dimostrare che ne esistono due tali che il segmento che li congiunge contiene almeno un punto interno (cioè distinto dagli estremi) a coordinate intere.

[enomis_costa88]

Considero le coordinate cartesiane dei 9 punti modulo 2.
ho $ 2^3= 8 $ possibilità (due possibilità per ogni coordinata):

$ (0,0,0) $
$ (0,0,1) $
$ (0,1,0) $
$ (1,0,0) $
$ (1,1,0) $
$ (1,0,1) $
$ (0,1,1) $
$ (1,1,1) $

Per il principio dei cassetti c'è almeno una coppia di punti (che chiamerò A e B) con le stesse coordinate modulo 2.
WLOG siano $ (0,0,0) $ le coordinate di A (posso sempre traslare).
Le coordinate di B risulteranno $ (2x,2y,2z) $ con $ x,y,z $ interi (e almeno uno tra x,y,z non nullo altrimenti B coinciderebbe con A) , poichè modulo 2 sono uguali a quelle di A.
I punti A e B risultano quindi allineati con il punto C $ (x,y,z) $ anche esso a coordinate intere (inoltre essendo almeno uno tra x,y,z non nullo C non coincide ne con A ne con B).
Infatti se applico a B un'omotetia di centro A e $ k=\frac{1}{2} $ ottengo C che risulta inoltre essere interno al segmento AB.