Qualcuno sa spiegarmi cosa legittima porre x + y + z = 1
come ha fatto simo qui
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=4495
?
Grazie
omogenee e x+y+z=1
Beh, il motivo è il seguente :
considera le due terne $ (a,b,c) $ e $ (ka,kb,kc) $ con k non nullo e sostituiscile ad x,y,z; otterrai
$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $
e
$ $\sqrt{\frac{ka}{kb+kc}}+\sqrt{\frac{kb}{ka+kc}}+\sqrt{\frac{kc}{ka+kb}}$ $
Ovvero, a meno di raccogliere e semplificare la seconda espressione, si ottiene la stessa cosa.
Questo si può esprimere dicendo che la disequazione
$ $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq C$ $
(minore o maggiore, è uguale) con C costante, è omogenea.
Il fatto che le terne (a,b,c) e (ka,kb,kc) diano lo stesso valore, quando sostituite a (x,y,z), ci fa capire che importano solo le proporzioni in cui essi stanno e non il loro effettivo valore assoluto; quindi, possiamo ad esempio scegliere k=1/a e verificare la disuguaglianza solo per terne del tipo (1,u,v), oppure possiamo fissare x+y+z=1, che è come dire c=1-a-b, ovvero fissare $ $k=\frac{1-a-b}{c}$ $.
Se infatti è vera sotto la condizione $ x+y+z=1 $, per omogeneità sarà anche vera sotto ogni condizione del tipo $ x+y+z=h $ con qualunque h reale (basta porre k=h e moltiplicare le terne che soddisfano x+y+z=1 per tale k) e quindi sarà vera per ogni terna.
Chiaro?
considera le due terne $ (a,b,c) $ e $ (ka,kb,kc) $ con k non nullo e sostituiscile ad x,y,z; otterrai
$ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}$ $
e
$ $\sqrt{\frac{ka}{kb+kc}}+\sqrt{\frac{kb}{ka+kc}}+\sqrt{\frac{kc}{ka+kb}}$ $
Ovvero, a meno di raccogliere e semplificare la seconda espressione, si ottiene la stessa cosa.
Questo si può esprimere dicendo che la disequazione
$ $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq C$ $
(minore o maggiore, è uguale) con C costante, è omogenea.
Il fatto che le terne (a,b,c) e (ka,kb,kc) diano lo stesso valore, quando sostituite a (x,y,z), ci fa capire che importano solo le proporzioni in cui essi stanno e non il loro effettivo valore assoluto; quindi, possiamo ad esempio scegliere k=1/a e verificare la disuguaglianza solo per terne del tipo (1,u,v), oppure possiamo fissare x+y+z=1, che è come dire c=1-a-b, ovvero fissare $ $k=\frac{1-a-b}{c}$ $.
Se infatti è vera sotto la condizione $ x+y+z=1 $, per omogeneità sarà anche vera sotto ogni condizione del tipo $ x+y+z=h $ con qualunque h reale (basta porre k=h e moltiplicare le terne che soddisfano x+y+z=1 per tale k) e quindi sarà vera per ogni terna.
Chiaro?
O anche: diciamo che una funzione, ad esempio in tre variabili) è omogenea di grado n quando $ f(ka,kb,kc)=k^n f(a,b,c) $ per tutti i $ k $ reali.Sisifo ha scritto:Quando tutti i termini sono allo stesso grado da entrambi i membri della diseguaglianza.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Cioè, ad esempio $ \displaystyle \sqrt{\frac{1}{b+c}} $ è omogenea di grado $ -\frac{1}{2} $ giusto? ma la funzione nel caso citato prima, $ \displaystyle\sqrt{\frac{a}{b+c}} $ non è omogenea, perchè $ f(ka,kb,kc)\neq k^n f(a,b,c) $ a meno che $ n=0 $, poichè abbiamo visto che $ f(a,b,c)=f(ka,kb,kc) $fph ha scritto: O anche: diciamo che una funzione, ad esempio in tre variabili) è omogenea di grado n quando $ f(ka,kb,kc)=k^n f(a,b,c) $ per tutti i $ k $ reali.