La facciata del nuovo Dipartimento di Matematica di Parma presenta 30 finestre, disposte come in una tabella 6 × 5. Una sera Francesco nota che vi sono 8 luci accese e che in ogni riga ed in ogni colonna le luci accese sono o due o nessuna.
Determinare quante sono le configurazioni con 8 luci accese che rispettano questo criterio.
MATEMATICI NOTTAMBULI (Parma 2003)
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enomis_costa88
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Ho 8 luci accese quindi ho due righe senza luci accese e una colonna senza luci accese.
Posso scegliere le 2 righe in $ 6 \choose 2 $ $ = 15 $modi differenti.
Posso scegliere la colonna in 5 modi differenti.
Mi rimangono 4 righe e 4 colonne con 2 luci accese in ciascuna.
Nella prima tra queste 4 righe (la chiamerò semplicemente prima riga d'ora in poi) posso scegliere in 6 modi diversi le colonne in cui accendere 2 luci (e le due colonne in questione le posso chiamare A e B) .
Posso scegliere in 3 modi l'altra riga in cui accendere una luce nella colonna A (e la chiamerò riga X).
La seconda luce accesa nella colonna B può essere nella riga X o meno.
Se è nella riga X allora non ho altre luci accese nella riga X e neppure nella prima riga, inoltre non ho altre luci accese nemmeno nelle collonne A e B. Quindi le 4 rimanenti luci accese sono in posizioni obbligate.
Se non è nella riga X: posso sceglire in 2 modi distinti la riga in cui posizionare la seconda luce accesa nella collonna B.
Inoltre posso scegliere in due modi distinti la seconda luce accesa nella riga X.
Per ciascuna di queste 2*2 = 4 scelte mi trovo ad avere due righe e due colonne con 2 luci accese ciascuna (ma la luce della finestra nella colonna B e riga X non è accesa) e quindi le rimanenti 3 luci accese si troveranno in posizioni obbligate.
Le configurazioni possibili sono quindi: $ 15*5*6*3*(4+1)=6750 $
Posso scegliere le 2 righe in $ 6 \choose 2 $ $ = 15 $modi differenti.
Posso scegliere la colonna in 5 modi differenti.
Mi rimangono 4 righe e 4 colonne con 2 luci accese in ciascuna.
Nella prima tra queste 4 righe (la chiamerò semplicemente prima riga d'ora in poi) posso scegliere in 6 modi diversi le colonne in cui accendere 2 luci (e le due colonne in questione le posso chiamare A e B) .
Posso scegliere in 3 modi l'altra riga in cui accendere una luce nella colonna A (e la chiamerò riga X).
La seconda luce accesa nella colonna B può essere nella riga X o meno.
Se è nella riga X allora non ho altre luci accese nella riga X e neppure nella prima riga, inoltre non ho altre luci accese nemmeno nelle collonne A e B. Quindi le 4 rimanenti luci accese sono in posizioni obbligate.
Se non è nella riga X: posso sceglire in 2 modi distinti la riga in cui posizionare la seconda luce accesa nella collonna B.
Inoltre posso scegliere in due modi distinti la seconda luce accesa nella riga X.
Per ciascuna di queste 2*2 = 4 scelte mi trovo ad avere due righe e due colonne con 2 luci accese ciascuna (ma la luce della finestra nella colonna B e riga X non è accesa) e quindi le rimanenti 3 luci accese si troveranno in posizioni obbligate.
Le configurazioni possibili sono quindi: $ 15*5*6*3*(4+1)=6750 $
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
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