Formule belle

[gatsu]

Apro questo topic per poter inserire tutte le formule che secondo voi sono "belle".

Ovviamente dovete anche spiegare il perche' !!!

Inizio io con una delle + belle (a parer mio) e famose...ke non ha bisogno di commenti.

$ \displaystyle e^{i\pi} + 1 = 0 $

[hydro]

$ \displaystyle e=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{i!} $

[Sisifo]

non poteva mancare..
$ \displaystyle F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) $

[gatsu]

Ottimo....molto belle!!

Ma se mettete un minimo di spiegazione (almeno ki l'ha scoperta) ...soprattutto per i non addetti ai lavori!!!

[gatsu]

Ok...la prima e' una nota serie e la seconda e' la formula di Binet --> mi sa ke qua sono tutti addetti ai lavori!!

Io intendevo cose di questo genere (mi permetto di copiare una formula scritta dall'utente Oblomov).

$ \displaystyle \cfrac {1}{1+ \cfrac {e^{-2 \pi \sqrt 5}}{1+ \cfrac {e^{-4 \pi \sqrt 5}}{1+\cfrac {e^{-6 \pi \sqrt 5}}{1+\cfrac {e^{-8 \pi \sqrt 5}}{1+\cfrac {e^{-10 \pi \sqrt 5}}{1+...}}}}}}=e^{\frac {2 \pi}{\sqrt 5}* \left[\sqrt 5(1+(\sqrt[5]{5^{3/4})(\phi^{5/2})-1})^{-1} - \Phi \right]} $(S.Ramanujan).
$ \Phi $ é 1,618033989... e $ \phi $ il suo inverso.

Dai fatevi avanti!!

[Marco]

Mah, e il caro, vecchio Teorema di Pitagora?
$ a^2 + b^2 = c^2 $
se e solo se a,b,c reali positivi sono i lati di un triangolo rettangolo.

[gatsu]

[edriv]

A me piace anche Nesbitt:
$ \frac a {b+c} + \frac b {c+a} + \frac c {a+b} \ge \frac 3 2 $

E, a proposito di senso estetico, guai a chi scrive le somme ciclice con le lettere ordinate, tipo: $ \frac a {b+c} + \frac b {a+c} + \frac c {a+b} $!

[thematrix]

$ (a_1 ^2 + ... + a_n ^2) (b_1 ^2 + ... + b_n ^2) \geq (a_1 b_1 + ... + a_n b_n) ^2 $

[Ani-sama]

Vi giuro che avevo pensato ad un topic simile anche io, non molti giorni fa... ed ecco che lo vedo già aperto!

Anyway... c'è la classica proprietà: $ \phi^2-\phi=1 $, con $ \phi=1,618... $

Oppure... non so, anche questo "piccolo teorema" è carino:

$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p $ (con $ p $ primo)


Poi... un'altra cosa carina potrebbe essere questa...:

$ \displaystyle \sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n $

Inizio io con una delle + belle (a parer mio) e famose...ke non ha bisogno di commenti.

$ \displaystyle e^{i\pi} + 1 = 0 $

A me piace di più scriverla come:

$ \ln{(-1)}=\pi i $

Scrivere un logaritmo con argomento negativo è... è... una figata.

[OT]
E poi, scivolando nella fisica, come non ricordare la mitica equazione di Boltzmann:

$ S= k \ln W $

[/OT]

[hydro]

e non può di certo mancare questa...

$ \forall a_1,a_2,a_3...a_n\geq 0 \in \mathbb{R} $

$ \displaystyle \sum_{i=1}^na_i \geq n \left(\prod_{i=1}^na_i \right)^{\frac{1}{n}} $

[Nonno Bassotto]

$ \int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega $

Cosa c'è di più bello della formula di Stokes? Per chi non la conoscesse si tratta di una generalizzazione in dimensione più alta del teorema fondamentale del calcolo. Lo so che forse non è molto adatta ad un forum frequentato (credo) soprattutto da olimpionici dellle superiori, però è la mia preferita.

[Nonno Bassotto]

Beh, quasi quasi posto anche la formula di Riemann-Roch-Hirzebruch (scusate, le formule più belle sono anche piuttosto in là nello studio della matematica).

$ \chi(X, \mathcal{F}) = \int_X Ch(\mathcal{F})\wedge Td(X) $

Qui X è una varietà complessa e F un fibrato vettoriale su X.

[HellGauss]

1+1=2

Dimostrazione:
Poniamo a'=successivo di a:
0'+0'=(0'+0)'=(0')'=0''

[pic88]

$ \[\displaystyle \zeta (2)=1 + \frac{1} {{2^2 }} + \frac{1} {{3^2 }} + ... = \frac{{\pi ^2 }} {6} \] $