ItaMO2006/2

[Simo_the_wolf]

Risolvere negli interi positivi:

$ p^n + 144 = m^2 $

Dove $ p $ è un numero primo.

[Alex89]

Ho partecipato a Cesenatico e su questo ho preso 5 punti perchè la mia dimostrazione era troppo complicata.
Per non togliere il divertimento ad altri la mia la metto in piccolissimo.
(Questa non è quella ufficiale delle soluzioni)

(da **** c'è la parte simile alla soluzione originale che se avessi scritto dall'inizio mi avrebbe fruttato 7 punti.)



Divido tre casi: per n=2, per n>2 pari e per n>2 dispari.

1)n=2

Quindi viene: p^2+144=m^2.

Questa è una terna pitagorica. Per chi non si ricorda (credo molto pochi) i tre elementi c, C e i di una terna si calcolano:

c=x*y

C=(x^2-y^2)/2

i=(x^2+y^2)/2

per x e y interi positivi.

In questa terna pongo 1.1)p=c 1.2)p=C

1.1)p=c
12=C

Poichè gli unici divisori di p sono 1 e p, si ha x=p e y=1.

Quindi:

12=C

12=(x^2-y^2)/2

12=(p^2-1)/2

p^2=25

p=5

che da la prima soluzione

Soluzione 1

m=13
n=2
p=5

2)p=C

12=x*y

Poichè abbiamo tre coppie di fattori (3*4 6*2 12*1) dobbiamo sceglierne una per cui x^2-y^2 è pari. Quindi x e y sono o entrambi pari o entrambi dispari.
L'unica soluzione tra le tre coppie è x=6 e y=2 che da:

p=(6^2-2^2)/2=16

Quindi la soluzione non è accettabile.

Per n>2 pari si hanno delle terne pitagoriche derivate:

(p^n/2)^2+144=m^2

Poichè 12 è uguale alle tre coppie di fattori dette prima, l'unica terna pitagorica derivata che potremmo avere è la derivata della terna (3, 4, 5) con 2.1)p^(n/2)=3k o 2.2)p^(n/2)=4k con k intero positivo con 2.1)12=4k o 2.2)12=3k.


2.1)p^(n/2)=3k

12=4k

Quindi:
k=3

p^(n/2)=9

che da la soluzione

p=3
n=4

Per calcolare m si fa 3^4+144=m^2 che da m=15.

Soluzione 2

p=3
n=4
m=15

2.2)12=3*k
p^(n/2)=4*k

k=4

p^(n/2)=16.

Poichè 16=2^4 l'unica soluzione con p primo è p=2 che dà anche n/2=4 e n=8.

Per calcolare m si ha

2^8+144=m^2

256+144=m^2

che da m=20.

****Per n>2 dispari non si hanno soluzioni.

Infatti p^n=(m-12)(m+12)

Quindi m-12 e m+12 devono essere divisibili per p, cosa ammissibile solo con p=2
p=3 e p=5, che danno le tre soluzioni dette sopra.

Originale, no?

[hydro]

ci provo...
$ p^n=(m-12)(m+12) $. I due fattori devono quindi entrambi essere potenze di $ p $. La possibilità banale è $ m-12=1 \wedge m+12=p^n $ che ci dà come soluzione la terna $ (p,n,m)=(5,2,13) $ o $ m+12=1 \wedge m-12=p^n $, che però non va bene. Poniamo quindi $ m+12=p^u $ e $ m-12=p^v $ tali che $ u+v=n $. Chiaramente, $ u>v $. Uguagliando rispetto ad $ m $, $ p^v(p^{u-v})=24 $. $ 24=2^3*3 $, sicchè dobbiamo esaminare solo i casi in cui $ p^v=2 \vee 4 \vee 8 \vee 3 $, che ci forniscono le terne $ (p,n,m)=(2,8,20),(3,4,15) $

[Marco]

Alex89:
[...]Questa è una terna pitagorica. Per chi non si ricorda (credo molto pochi) i tre elementi c, C e i di una terna si calcolano:

c=x*y
C=(x^2-y^2)/2
i=(x^2+y^2)/2

per x e y interi positivi.[...]

Bella l'idea, ma non torna:

La formula delle terne pitagoriche che citi non genera tutte le terne, ma tutte quelle irriducibili (e qualcun'altra).

Ad esempio: la terna 9, 12, 15 non può essere generata da quelle formule. Ne segue che ti sei perso per strada alcuni casi (es. fattore comune = p, x = y = 1 ecc...) Poi, per tua fortuna, nessuno di quei casi va bene, e non ti scappano soluzioni.

[Cammy87]

Scusate i tre post, ma ho avuto un po' di problemi nell'invio del messaggio.

[Cammy87]

Beh posto la mia dimostrazione che mi è valsa 7 punti!!!
Poichè non mi è rimasta una parte di dimostrazione scritta (non so perchè?) e non riesco nemmeno ad aggiungerla, la posto di seguito. Va inserita nel punto dove metterò questo asterisco *. Boh non mi legge nemmeno l'asterisco, così cito il punto dopo il quale bisogna leggere il post di sotto "dove k è un naturale <n".


scompongo utilizzando la differenza di quadrati
$ (m+12)\cdod(m-12)=p^n $
Poichè $ p $ è primo posso scomporre l'equazione nel sistema:
$ (m+12=p^{n-k}) AND (m-12=p^k) $ dove k è un naturale <n>3 non posso avere altre soluzioni perchè la differenza tra due potenze di 2 >24.
Sostituendo i valori trovati nell'equazione ottengo la terna di soluzioni $ (2,8,20) $.
- SE $ p=3 $ procedendo nello stesso modo trovo che l'unica terna che soddisfa l'equazione è $ (3,4,15) $
- SE $ p=5 $ procedendo nello stesso modo ottengo l'unica terna $ (5,2,13) $
- SE $ 5<p<29>24 $ quindi non ci sono soluzioni
- SE $ p>=29 $ la differenza tra due qualsiasi potenze di $ p $ è $ >24 $, quindi non ci sono altre soluzioni ad eccezione delle tre terne trovate sopra.

[Cammy87]

Ecco questa parte di dimostrazione andrebbe inserita (non so perchè non me la inserisce) nel post precedente subito dopo: "dove k è un naturale <n".

Sottraendo la seconda dalla prima ottengo $ 24=p^{n-k}-p^k $.
Quindi la differenza tra due potenze di $ p $ deve essere $ 24 $.
- SE $ p=2 $ l'equazione diventa $ 24=2^{n-k}-2^k $, che ha soluzione soltanto per $ n=8 $ e $ k=3 $. Questa soluzione si trova facilmente partendo da $ 2^k $, con $ k $ che cresce a partire da 0, e aggiungendo 24, soltanto quando ottengo un'altra potenza di 2 ho una soluzione. Se k>3 non posso avere altre soluzioni perchè la differenza tra due potenze di 2 è >24.

[Alex89]

@Marco:

Nei passi successivi della dimostrazione ricavo che l'unico caso in cui 12 appartenga ad una terna derivata è la derivata di 3, 4, 5 (passo 2) e quindi indico i soli casi p=3*k con k da ricavare (passo 3.1) e p=4*k (passo 3.2).

Puoi spiegarmi quali sono i casi omessi?

[Marco]

Dunque, la formula delle terne pitagoriche che conosco io è un po' diversa; quella che so io dice:

Siano x>y due interi positivi, di parità discorde. Allora

c1 = x^2 - y^2
c2 = 2xy
ip = x^2 + y^2

è una terna pitagorica irriducibile. Viceversa, data una t.p.i., esiste un'unica coppia x,y che genera quella coppia.

Nota che si passa dalla mia variante alla tua con le trasformazioni

x' = (x+y)/2 y' = (x-y)/2
x = x'+y' y = x'-y'

Con la tua variante, c'è la noia che non è detto che il numeratore venga pari, quindi non è detto che il risultato sia una t.p. intera. Perciò dovresti anche ipotizzare x e y di parità concorde (e, se la vuoi irriducibile, entrambi dispari e diversi; in questo modo generi tutte le t.p.i. in modo unico).

Nella tua dimostrazione ragioni dicendo: cerco una terna del tipo (p^k, 12, m). Devono esistere x e y t.c. sostituendo nella formula, saltano fuori c=p, C=12 oppure c=12, C=p. Questo assume che la formula generi tutte le triple (il che è, come ti dissi, falso).

Nella tua dimo, dici che il caso 1 è sempre una terna irriducibile, mentre il caso 2 è sempre una terna derivata. Ti passo il caso 1, in quanto l'unica possibilità è avere un cateto = 1 (ed è ben noto che (3,4,5) è la terna minima). Ma il caso 2? Si sarebbe ben potuto avere p>3 (quindi una terna primitiva), cateto dispari p^k e cateto pari 12.

Io l'avrei scritta così:

Denoto con d il fattore comune della terna.

Sia n = 2N. (p^N)^2 + 12^2 = m^2.

Ragioniamo in termini di d. d è un divisore di 12.

d=1. La terna è irriducibile. Il cateto pari è (x^2 - y^2)/2, da cui x=5 e y=1. L'unica terna è (5,12,13). Da cui p=5, n=2, m=13 [nota che il caso 2 comprende come sottocaso particolare il caso 1].

d=2. La terna irriducibile ha cateto pari 6. Ma x^2 - y^2 = 12, da cui x=4, y=2, ma la terna risultante (6,8,10) non è irriducibile.

d=3. La terna irriducibile ha cateto pari 4. x^2 - y^2 = 8, da cui x=3, y=1. La terna primitiva risultante è (3,4,5), da cui la terna (9,12,15), da cui p=3 n=4 m=15.

d=4. La terna irriducibile ha cateto dispari 3. xy=3. Si ritrova la terna primitiva precedente (3,4,5), con terna derivata (12,16,20), da cui la soluzione p=2 n=8 m=20.

d=6, [d=12]. La terna irriducibile ha cateto pari 2 [dispari 1]. Ma è noto che 3,4,5 è la più piccola terna possibile. Nessuna terna, nessuna soluzione.

Naturalmente, resta sempre fuori il caso n dispari...

[Alex89]

Grazie mille per i casi che ammetto non avevo considerato o avevo trascurato in fretta.

[Spider]

Grazie mille per i casi che ammetto non avevo considerato o avevo trascurato in fretta.

Questo potevi anche scriverlo in una dimensione leggibile...

Salvatore

[Ani-sama]

Fatto in una mezz'oretta proprio adesso (eh, esserci stati a Cese...)

Dunque, abbiamo $ p^n+144=m^2 $

Scriviamolo come: $ p^n=m^2-144 $. Per forza di cose, siccome $ p^n $ è intero positivo, deve essere che $ m^2>144, m>12 $. Ora poniamo $ m=x+12 $ e sostituiamo. Abbiamo che: $ p^n=(x+12)^2-12^2 $, $ p^n=x^2+12^2+24x-12^2 $, da cui, raccogliendo:

$ p^n=x(x+24) $.

$ p $ è un primo, questo ci semplifica la vita perché ci permette di distribuire la sua fattorizzazione (spero si sia inteso il concetto, mi rendo conto che non mi sto esprimendo molto bene) nei due fattori $ x $ e $ x+24 $ nei vari modi possibili. Possiamo immaginare svariate possibilità:

$ x=1, 1+24=p^n $;
$ x=p, p+24=p^{n-1} $ e così via. È interessante ora poter esprimere il numero $ 24 $ in base a come si sceglie la disposizione dei fattori... anche qui, possiamo immaginarci svariati casi:
$ 24=2^3 \cdot 3 = p^n-1 $;
$ 24=2^3 \cdot 3= p^{n-1}-p=p(p^{n-2}-1) $;
$ 24=2^3 \cdot 3 = p^{n-2} - p^2 = p^2(p^{n-4}-1) $;
$ 24=2^3 \cdot 3 = p^{n-3} - p^3 = p^3(p^{n-6}-1) $.

Qui però ci fermiamo, perché il numero $ 24 $, scomposto in fattori primi, non ha fattori con potenza superiore alla terza! Ora, dunque, è facile studiare la situazione caso per caso (ce ne sono solo 4!) e trovare i valori ricercati.

1)$ 24=p^n-1 $, da cui $ 25=p^n $, $ p=5, n=2 $ e, ricordando che in questo caso $ x=1 $, abbiamo che $ m=13 $.

2)$ 24=p(p^{n-2}-1) $. Dalla scomposizione di 24, notiamo che l'unico fattore ad avere potenza $ 1 $ è il $ 3 $ (*). Dunque poniamo $ p=3 $, $ 3^{n-2}-1=2^3=8 $ (abbiamo distribuito gli altri fattori di $ 24 $), da cui si ricava facilmente $ n=4 $. Ricordando poi che, in questo caso, era $ x=p $, troviamo che $ m=3+12=15 $ [(*) Potevamo anche provare a porre $ p=2 $, dato che il fattore $ 2 $ può avere potenza $ 1 $... ma facendo così avremmo ottenuto l'equazione $ 2^{n-2}-1=12 $, che non ha soluzioni intere].

3)$ 24=p^2(p^{n-4}-1) $. Proviamo a porre $ p=2 $ (l'unico fattore primo di $ 24 $ che può avere potenza $ 2 $). È facile verificare che $ 2^{n-4}-1=2 \cdot 3 = 6 $ non risulta essere mai verificata (infatti $ 7 $ è un numero primo!!).

4)$ 24=p^3(p^{n-6}-1) $. L'unico fattore primo di $ 24 $ che può avere potenza $ 3 $ è il $ 2 $. Dunque poniamo $ p=2 $; distribuendo gli altri fattori, come al solito, deve essere che $ 2^{n-6}-1=3 $, $ 2^{n-6} = 4 $, da cui si ricava direttamente $ n=8 $. Ricordiamo infine che, in questo caso, era $ x=p^3=8 $, da cui $ m=20 $.


Ricapitolando, abbiamo tre possibili terne che risolvono l'equazione. Nell'ordine $ (p, n, m) $:

1)$ (5, 2, 13) $;
2)$ (3, 4, 15) $;
3)$ (2, 8, 20) $.

Ed eccoci qua.

[Gauss_87]

l'ho risolta come hydro perchè penso sia la via più semplice e diretta... bye