2+3=5

[EvaristeG]

Determinare i primi $ p $ per cui
$ (2+3)-(2^2+3^2)+(2^3+3^3)-\ldots+(2^p+3^p) $
è divisibile per 5.

[Esercizio facile; sconsigliato agli esperti]

[darkcrystal]

[Non so se sono un esperto... per sicurezza metto tutto in bianco. Il messaggio non è texato altrimenti si vedono le formule ]

Allora: se in una parentesi l'esponente è dispari, la parentesi è divisibile per 5.
Dimostrazione: 2^{2a+1}+3^{2a+1} \equiv 2^{2a+1}+(-2)^{2a+1} \equiv 2^{2a+1}+-(2)^{2a+1} \equiv 0 \pmod 5
Quindi ci restano solo le parentesi con esponente pari. Queste sono congrue a 2^{2a}+(-2)^{2a} \equiv 2*2^{2a} \equiv 2*4^{a} \equiv 2*(-1)^{a} \pmod 5. Quindi, a seconda della parità di a, sono congrue a + o -1. Pertanto, due parentesi con esponenti 2k e 2k+2 si annullano (poichè gli esponenti hanno congruenza diversa modulo 4).
Concludendo, se vi è un numero pari di parentesi con esponente pari la somma è divisibile per 5, e perciò condizione necessaria (e sufficiente) è p \equiv 1 \pmod 4

[snagg]

EDIT: ehm ho misinterpretato la traccia, pensavo che gli esponenti tranne n=1, dovessero essere tutti primi. Sorry

[darkcrystal]

Scusa ma non ho capito... non si tratta di un prodotto, ma di una somma, potresti spiegare meglio il tuo risultato? Grazie, ciao!

[edriv]

Sì ma $ 2^2+3^2 $ è la differenza... tra che cosa?
[edit: non faccio in tempo a correggere qualcuno che egli si corregge da solo ]
[edit2: ho addirittura confuso i nickname e non capisco proprio nulla ]

[snagg]

Scusa ma non ho capito... non si tratta di un prodotto, ma di una somma, potresti spiegare meglio il tuo risultato? Grazie, ciao!

EDIT: Come sopra

[HiTLeuLeR]

Determinare i primi $ p $ per cui
$ (2+3)-(2^2+3^2)+(2^3+3^3)-\ldots+(2^p+3^p) $
è divisibile per 5.

Sia $ s = (2+3)-(2^2+3^2)+ \ldots+(-1)^{p+1} (2^p+3^p) $. Passando per i soliti fatti riguardanti le progressioni geometriche: $ \displaystyle s = 2 + \frac{(-2)^{p+1} - 1}{3} + \frac{(-3)^{p+1}-1}{4} $. Perciò $ 5 \mid s $ sse [1]: $ 1 + (-2)^p \equiv (-3)^{p+1} \bmod 5 $. Sia p = 4q+r, dove $ r \in \overline{0,3} $. Allora [1] sse $ 1 + (-2)^r \equiv (-3)^{r+1} \bmod 5 $, visto che $ \phi(5) = 4 $. Ne segue che dev'essere r = 0 oppure r = 1. Tuttavia p = 4q non è mai primo. Perciò "tutti e soli i primi = 1 mod 4" è la risposta al problema.