Problema tosto...

[Nonno Bassotto]

...almeno per me. Ci ho messo un bel po' a risolverlo. Mi raccomando, mettete le soluzioni in colore bianco, così chi non vuole non le vede.

Sia $ f \colon \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ una funzione $ C^{\infty} $. Supponiamo che per ogni $ x \in \mathbb{R} $ esista n tale che $ f^{(n)}(x)=0 $, dove $ f^{(n)} $ indica la derivata n-esima. Dimostrare che f è un polinomio.

In bocca al lupo.

[ma_go]

carino...
scriviamo l'insieme dei reali come unione opportuna di insiemi numerabili (non si può usare latex, uffi...), ovvero come unione (non necessariamente disgiunta) degli insiemi A_n = {x | f^(n)(x) = 0}. siccome quest'unione è numerabile, e R non lo è, significa che esiste k tale che A_k ha cardinalità del continuo, quindi in particolare è denso in R. ma f è C infinito, quindi f^(k) è costantemente 0, quindi f è un polinomio di grado al più k.

[fph]

esiste k tale che A_k ha cardinalità del continuo, quindi in particolare è denso in R.

Dissento.

[ma_go]

ehm, sì... dissento anch'io...

[EvaristeG]

Ohh, autoquotarsi è un ottimo modo per postare soluzioni in bianco!! A patto di non usare latex, ovviamente ...

Sia A_n={x in R | f^(n)(x)=0}; ovviamente, questi sono dei chiusi. Sia M il sottoinsieme di N tale che, se m in M, A_m ha parte interna non vuota, ora, visto che siamo sui reali, M non è vuoto e, dette E_m la parte interna di A_m e C_m la chiusura di E_m per ogni m in M, l'unione dei C_m sarà R, in quanto l'unione degli A_m sarà densa nella retta reale.
Ora, osserviamo che E_p è sottoinsieme di E_q se p<q e p,q in M; sia k il minimo di M e chiamiamo h il più piccolo elemento di M maggiore di k tale che C_h-C_k non sia vuoto.
Sia x in E_h e sul bordo di E_k; ovviamente, sulla componente connessa di E_h che contiene x, varrà f^(h-1)=(cost. non nulla), quindi per continuità anche in x varrà f^(h-1)(x)=(cost. non nulla), ma x sta anche sul bordo di C_k e k<=h-1, quindi f^(h-1)(x)=0, quindi la costante non nulla in realtà è nulla. Questo implica che E_h è contenuto in E_k, quindi è uguale ad esso e questo è un assurdo, per come avevamo scelto h,k. (se si preferisce procedendo per induzione si mostra che E_k=E_m per ogni m in M e quindi che la chiusura di E_k è R).
Dunque M={k} e dunque f^(k) è nulla ovunque, da cui, f è un polinomio.

[Nonno Bassotto]

Non credo di aver capito


Perché dici che l'unione dei C_m è tutto R? Quando prendi un chiuso, fai la parte interna e di nuovo la chiusura puoi ottenere qualcosa di molto più piccolo. Il fatto che l'unione degli A_m sia tutto non migliora le cose: l'unione delle parti interne non è necessariamente densa.


Non ho letto il seguito, perché sono pigro. Prova a chiarire questo punto.
Ciao

[EvaristeG]

hmm dunque ... la risposta è Baire!
1) l'unione numerabile di sottoinsiemi di R chiusi e a parte interna vuota è ancora a parte interna vuota : se la parte interna dell'unione contenesse un intervallo ]a,b[ allora l'unione conterrebbe l'intervallo [a+e,b-e] con e<b-a; tale intervallo sarebbe uno spazio metrico completo unione di una famiglia numerabile di chiusi a parte interna vuota e questo è assurdo per il teorema di Baire.
2) il complementare dell'unione degli A_m è l'unione degli A_j con j in N-M; quindi il complementare degli A_m è a parte interna vuota; inoltre, anche A_m-E_m (il bordo degli A_m) è a parte interna vuota, quindi il complementare degli E_m è a parte interna vuota; quindi l'unione degli E_m è densa. In realtà questo implica solo che la chiusura dell'unione degli E_m sia tutto e non che l'unione delle chiusure lo sia, ma tanto non usavo questo particolare fatto.

[Nonno Bassotto]

Sembra funzionare, ed è un po' più semplice della mia (di certo è stata trovata in meno tempo!). Complimentoni! Sostanzialmente quello che cambia nella tua è quando prendi il secondo minimo, cosa che io non avevo fatto, e mi ci voleva qualche passo in più. Magari quando ho tempo la posto.
Ciao

[Nonno Bassotto]

Ecco la soluzione che avevo trovato io (il passo a cui facevo riferimento nel post precedente è l'ultimo, e si evita con il modo che hai usato tu).

Indico con & l'intersezione.

1) Chiamiamo A_n={x in R | f^(n)(x)=0}, E_n la parte interna di A_n. Chiaramente E_n è contenuto in E_m se n<m, e il lemma di Baire ci dice che E_n è definitivamente non vuoto.

2) Ciascun E_n, essendo un aperto di R, è unione numerabile di segmenti aperti. Quando si passa da E_n a E_{n+1} l'insieme in generale cresce, ma l'unica cosa che può succedere è che si aggiunga qualche nuovo segmento, quelli che già ci sono restano invariati. Inoltre due tali segmenti aperti non sono mai adiacenti.

3) Per il passo precedente segue che mi basta dimostrare che l'unione degli E_n è tutto R. Da questo segue che E_n=R per il primo n tale che E_n è non vuoto (altrimenti non prenderei mai i suoi punti di bordo). Se E_n=R, chiaramente f è un polinomio.

4) Sia E l'unione degli E_n, B il suo complementare, e supponiamo per assurdo che B non sia vuoto. B è completo, quindi posso applicare anche a lui il lemma di Baire. Ottengo che esiste un k tale che A_k&B ha parte interna non vuota in B. Questo significa che c'è un intervallo aperto I tale che B&I è contenuto in A_k.

5) Dal secondo passo posso dire che B è privo di punti isolati. L'assurdo che voglio trovare è che I\B è contenuto in A_k. Da questo infatti seguirebbe che I è contenuto in A_k e dunque che E_k interseca B.

6) I\B è per costruzione unione di intervalli che compaiono in qualche E_n. Sia J un tale intervallino contenuto in E_n, x un punto sul bordo di J (non sul bordo di I). Allora x è in I&B, dunque in A_k, perciò f^(k)(x)=0. Non solo, ma x non è un punto isolato di B, quindi è limite di una successione x_i di punti di B.

7) Chiaramente f^(k)(x_i)=0. Tra due punti in cui si annulla la derivata k-esima c'è un punto dove si annulla la k+1-esima, perciò per continuità f^(k+1)(x)=0. Similmente per tutti gli indici successivi: in conclusione f^(m)(x)=0 per ogni m da k in poi. Ne segue che n è al più k (E_n è l'aperto che conteneva J). In conclusione J è contenuto in E_k, e poiché questo vale per ogni intervallino, I\B è contenuto in E_k.

Ciao

[nnsoxke]

Non bastava dire che l'integrale di 0 è una costante, l'integrale di una costante è una retta e così via ....?

[EvaristeG]

Eh, no : il problema è che tu sai che, se fissi un punto x, prima o poi trovi una derivata n-esima che in x si annulla ... a priori, potresti avere che non c'è nessun n per cui la derivata n-esima sia zero su tutto R ... infatti le due dimostrazioni, la mia e quella di Nonno Bassotto, puntano proprio a questo : mostrare che esiste un n che va bene per tutti i punti reali e quindi che f^(n) (x)=0 per ogni x.

[nnsoxke]

Asp ma questa che hai detto te è l'ipotesi del problema, quello che bisogna dimostrare è che questa funnzione sia un polinomio non che f^(n)(X)=0 per ogni x E R

[nnsoxke]

Ah non forse ho capito dove sta il problema l'n potrtebbe essere diverso da x ad x ? è questo che vuoi dire ?

[EvaristeG]

Esatto! Il problema sta proprio lì ... il testo dice : per ogni x esiste un n tale che ... e non esiste un n tale che per ogni x ....; l'ordine in cui si scrivono le due cose è molto importante.

[nnsoxke]

Già non avevo letto bene