II gara a squadre UNIMI- Quesito 3

[Boll]

Dimostrare che per ogni numero intero $ n>0 $

$ \log_{10}(n+1)>\dfrac{3}{10^n}+\log_{10}(n) $

[enomis_costa88]

Sia f(x)= $ (\frac{x+1}{x})^{10^{x}} $
Per x $ \ge $ 1
f’(x) = $ (\frac{x+1}{x})^{10^{x}} $ $ ( {10^x*ln{10}*ln{(\frac{x+1}{x})}-10^x (\frac{1}{(x+1)x})}) $ >0
poiché $ { ln{10}*ln{(\frac{x+1}{x})} $ > $ (\frac{1}{(x+1)x})} $
e quindi f(x) è crescente per x$ \ge $ 1

Dalla crescenza ho la catena di disuguaglianze per x $ \ge $ 1 :

$ (\frac{x+1}{x})^{10^{x}} $ $ \ge $ $ (\frac{2}{1})^{10} $=1024 >1000
quindi

$ (\frac{x+1}{x})^{10^{x}} $ > $ 10^3 $

dopo avere estratto la radice $ 10^x $ esima:

$ 10^{\frac{3}{10^x}} $< $ \frac{x+1}{x} $
ovvero
$ \frac{x+1}{(x)10^{\frac{3}{10^x}}} $ >1
$ log_{10}(\frac{x+1}{(x)10^{\frac{3}{10^x}}}) $> $ log_{10}(1) $ =0
$ log_{10}(x+1) $ - $ log_{10}(x) $ - $ log_{10}(10^{\frac{3}{10^x}}) $>0
$ log_{10}(x+1) $> $ log_{10}(x) $+ $ \frac{3}{10^x} $
che è la tesi.

Buona serata, Simone.

[Simo_the_wolf]

Dobbiamo dimostrare che: $ \displaystyle \left( 1+\frac 1n \right) ^{10^n} > 10^3 $.

abbiamo per bernoulli che: $ \displaystyle \left( 1+\frac 1n \right) ^{10^n} > 1+ \frac {10^n}n > 10^3 $ per $ n>3 $. non ci resta che verificare manualmente per gli altri $ n $.

[Boll]

Ok ad entrambi i simone. Enomis più brute force, simo più elegante, la mia è una buona via di mezzo (crescenza per induzione).

[Ani-sama]

Eccola la "crescenza per induzione", seppur un poco post litteram.

Allora.

Scriviamo l'espressione come:

$ \displaystyle \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} > \frac{3}{10^n} $

1) Passo iniziale, $ n=1 $: si verifica rapidamente.

2) Passo induttivo, $ n \Rightarrow n+1 $. Abbiamo da dimostrare che:

$ \displaystyle \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)} > \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{10^n} $

Riscriviamo l'espressione come:

$ \displaystyle \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{10} > \frac{3}{10^n} $

Scriviamo ora la seguente doppia disuguaglianza:

$ \displaystyle \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{10} > \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} > \frac{3}{10^n} $

La disuguaglianza più a destra è verificata in quanto è l'ipotesi induttiva; se verifichiamo quella a sinistra allora anche la tesi induttiva risulta provata, e il problema risolto.

Dimostriamo dunque che:

$ \displaystyle \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{10} > \log_{10}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} $

Passando agli argomenti abbiamo che:

$ \displaystyle {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{10} > {\left(1+\frac{1}{n}\right)} $

Ora, sappiamo che l'espressione racchiusa nella parentesi è sicuramente maggiore di 1, e quindi crescente al crescere degli esponenti; se, per semplificarci la vita, verifichiamo la disuguaglianza che ha $ 2 $ come esponente della parentesi a sinistra, al posto di $ 10 $, abbiamo verificato la disuguaglianza anche per l'esponente $ 10 $. Dunque abbiamo che:

$ \displaystyle {\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{2} > {\left(1+\frac{1}{n}\right)} $

Ora svolgiamo qualche facile calcolo e perveniamo a

$ n^2+n-1 > 0 $

che si prova rapidamente essere vera nei naturali per $ n > 0 $.

La tesi risulta dunque provata per induzione.