vi prego di aiutarmi a risolvere il seguente problema:
in un serbatoio di altezza 3m,colmo di un fluido si pratica un foro ad una distanza H dalla superfiie libera in modo tale che la distanza d alla quale il getto del fluido colpisce il pavimento sia la massima possibile,calcola il valore di questa distanza e l'altezza h in tali condizioni
una figura faciliterebbe la soluzione, ad ogni modo provo a spiegarmi:
applica il principio di bernoulli;
Il principio di bernoulli dice:
$
\[
p_1 + \frac{1}
{2}dv_1 ^2 + dgh_1 = p_2 + \frac{1}
{2}dv_2 ^2 + dgh_2
\] $
dove p è la pressione esterna, v la velocità, d la densità del fluido, h l'altezza;
le grandezze ad indice 1 si rifericono alla superficie, quelle di indice 2 al foro.
usando la legge di leonardo si vede che, sulla superificie la velocità del liquido è
$ \[
v_1 \approx 0
\] $ (quindi sostituisci v1 con 0)
inoltre la pressione sulla superficie è quella atmosferica, quella sul foro è ancora quella atmosferica(quindi p_1=p_2 e semplifichi). la differenza tra le altezze è H (incognita).
allora
$ \[
v_2 = \sqrt {2g(h_1 - h_2 )} = \sqrt {2gH}
\] $
trova la distanza d in funzione di H (si tratta di intersecare una parabola con una retta) e vedi per quale valore di H d è massimo.
allora fai:
$ \[
\begin{gathered}
x = v_2 t \hfill \\
y = - \frac{1}
{2}gt^2 + (3 - H) \hfill \\
\end{gathered}
\] $eliminando il parametro t ottieni
$ \[
y = - \frac{1}
{2}g\left( {\frac{x}
{{v_2 }}} \right)^2 + (3 - H)
\] $trova il valore di x in cui y=0.
si ha $
\[
x = \sqrt {4H(3 - H)}
\]
$
ed il max di questo valore si ha per H= 3/2 poi sostituisci e trovi x
