Nell'equipe dei ricercatori dell'Universita' Bovina che stanno studiando i Goldbug, vi sono un paio di matematici. Questi alla luce dei predenti esperimenti hanno formulato la seguente congettura:
Supponiamo di avere un iperparallelepipedo di n_1 x n_2 x ... x n_k celle.
In ogni cella vive un timido Goldbug, che guarda in una delle 2^k direzioni possibili.
Ad ogni istante, qualsiasi coppia di Goldbugs che si guarda fissa negli occhi si gira dll'atra parte (nel senso inuitivo del termine).
La congettura dice:
In tempo finito non vi sono piu' Goldbugs che si guardano fisso negli occhi.
Vera o falsa?
La congettura di Goldbug
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enomis_costa88
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Propongo un’altra soluzione diversa da quella proposta da moebius nel topic “Goldbugs a 2d” al suddetto problema.
L'idea è semplicissima: "una discesa" sul numero di dimensioni; la formalizzazione un po' meno
Sproloquio introduttivo:
Considero una griglia $ 1*a_2*..*a_n $ come rappresentabile in n-1 dimensioni, in particolare considero la griglia $ a_1*1 $ come una retta oppure se $ a_1=1 $ come un punto rappresentabile in 0 dimensioni.
Nella griglia 1*1 ci stà quindi un solo baco che non si potrà mai muovere (non ha nessuno da guardare).
Metto l’iperparallelepipedo $ a_1*a_2*..a_n $ in un sistema di assi cartesiani $ (x_1,x_2,…,x_n) $ .
Pongo uno spigolo in (0,....,0) e il resto parallelo agli assi sottinsieme di $ R^n $ con tutte le coordinate positive o nulle.
Coloro di rosso tutti i bachi che hanno coordinata $ x_1 = 0 $ . Chiamo questi bachi come “i bachi dello bordo basso”.
Associo ad ogni baco un vettore V con |V| = 1 che abbia la stessa direzione dello sguardo del baco considerato.
Dico che un baco rosso guarda in basso la coordinata $ x_1 $del suo vettore associato è negativa.
Dico che un baco rosso guarda sul bordo basso del iperparallelepipedo se la coordinata $ x_1 $ del suo vettore associato è nulla.
Dico che un baco rosso guarda in alto se la coordinata $ x_1 $ del suo vettore associato è positiva.
Ipotizzo che un baco rosso si ruoti di 180°
Sia $ V_1 $ il vettore-sguardo del baco rosso prima di ruotare.
Sia $ V_2 $il vettore-sguardo del baco rosso dopo avere ruotato.
Come in ogni rotazione di 180° che si rispetti $ V_1=-V_2 $.
La coordinata $ x_1 $ cambia quindi di segno, se il baco guardava in alto adesso guarda in basso e viceversa, se guardava sul bordo basso guarderà ancora sul bordo basso.
So inoltre che ogni baco rosso che guardi in basso non potrà più muoversi (non ci sono altri bachi in quella direzione, nessun baco ha coordinata $ x_1 $ negativa).
Dimostrazione vera e propria:
1) Sia n il numero minimo di dimensioni tale che all’interno dell’iperparallelepipedo i bachi si possano guardare in cagnesco all’infinito.
Suppongo che il bordo rosso sia rappresentabile in una dimensione in meno rispetto al resto del iperparallelepipedo (ovvero n>1; considererò più avanti il caso in cui n=0 e n=1).
Data una configurazione iniziale le configurazioni successive possibili sono finite (fissato il verso iniziale dello sguardo ogni baco può guardare in sole 2 posizioni differenti) e quindi se i bachi continueranno a guardarsi male all’infinito sicuramente si ripete ciclicamente una serie di configurazioni.
Ipotizzo che i bachi rossi si muovano in questa serie di configurazioni.
I bachi rossi che guardano in basso non possono muoversi come detto sopra. I bachi rossi che guardano verso l’alto possono fare al massimo una mossa prima di guardare verso il basso e non muoversi più.
Possono continuare a muoversi solo i bachi rossi che guardano verso il bordo basso.
Inoltre il bordo basso si può rappresentare in n-1 dimensioni, otterrei quindi un iperparalelepipedo in n-1 dimensioni nel quale i bachi si muovono all’infinito ma non è possibile per l’ipotesi 1.
Posso quindi cancellare tutto il bordo basso (infatti nessun baco appartenente ad esso continua a muoversi dopo un certo istante) ottenendo una griglia $ (a_1-1)*a_2*..*a_n $ nella quale i bachi continuano a muoversi all’infinito.
Per discesa (continuando a toglire bordi bassi) ottengo una griglia $ 1*a_2*..a_n $ rappresentabile in n-1 dimensioni nella quale i bachi continuano a muoversi all’infinito, ma ciò è assurdo per l’ipotesi 1.
Quindi il numero minimo di dimensioni tali che i bachi vadano avanti all'infinito è 1 o 0.
In zero dimensioni (ovvero in una griglia 1*1) come già detto sopra il baco presente non ha nessuno da guardare in cagnesco.
In una dimensione, ovvero su una retta non si può andare avanti all'infinito (questo caso è già stato trattato nel problema Golbugs 2).
La conclusione è quindi che prima o poi i bachi si fermeranno sempre.
Ripropongo una dimostrazione del claim:" i Goldbugs su di una retta non possono andare avanti a guardarsi male all'infinito".
Suppongo che $ n $ bachi possano andare avanti all'infinito a guardarsi male.
Essendo finite le configurazioni possibili data quella iniziale esiste una serie di configurazioni che si ripete ciclicamente.
A questa serie di mosse non appartiene il baco più esterno (perchè può muoversi solo una volta prima di guardare fuori dalla fila e fermarsi).
Quindi esiste anche una configurazione di $ n-1 $ bachi che si guardano male all'infinito.
Per discesa esiste una configurazione di un solo baco che continua a muoversi all'infinito, che è assurdo perchè non ha nessuno da guardare male.
L'idea è semplicissima: "una discesa" sul numero di dimensioni; la formalizzazione un po' meno
Sproloquio introduttivo:
Considero una griglia $ 1*a_2*..*a_n $ come rappresentabile in n-1 dimensioni, in particolare considero la griglia $ a_1*1 $ come una retta oppure se $ a_1=1 $ come un punto rappresentabile in 0 dimensioni.
Nella griglia 1*1 ci stà quindi un solo baco che non si potrà mai muovere (non ha nessuno da guardare).
Metto l’iperparallelepipedo $ a_1*a_2*..a_n $ in un sistema di assi cartesiani $ (x_1,x_2,…,x_n) $ .
Pongo uno spigolo in (0,....,0) e il resto parallelo agli assi sottinsieme di $ R^n $ con tutte le coordinate positive o nulle.
Coloro di rosso tutti i bachi che hanno coordinata $ x_1 = 0 $ . Chiamo questi bachi come “i bachi dello bordo basso”.
Associo ad ogni baco un vettore V con |V| = 1 che abbia la stessa direzione dello sguardo del baco considerato.
Dico che un baco rosso guarda in basso la coordinata $ x_1 $del suo vettore associato è negativa.
Dico che un baco rosso guarda sul bordo basso del iperparallelepipedo se la coordinata $ x_1 $ del suo vettore associato è nulla.
Dico che un baco rosso guarda in alto se la coordinata $ x_1 $ del suo vettore associato è positiva.
Ipotizzo che un baco rosso si ruoti di 180°
Sia $ V_1 $ il vettore-sguardo del baco rosso prima di ruotare.
Sia $ V_2 $il vettore-sguardo del baco rosso dopo avere ruotato.
Come in ogni rotazione di 180° che si rispetti $ V_1=-V_2 $.
La coordinata $ x_1 $ cambia quindi di segno, se il baco guardava in alto adesso guarda in basso e viceversa, se guardava sul bordo basso guarderà ancora sul bordo basso.
So inoltre che ogni baco rosso che guardi in basso non potrà più muoversi (non ci sono altri bachi in quella direzione, nessun baco ha coordinata $ x_1 $ negativa).
Dimostrazione vera e propria:
1) Sia n il numero minimo di dimensioni tale che all’interno dell’iperparallelepipedo i bachi si possano guardare in cagnesco all’infinito.
Suppongo che il bordo rosso sia rappresentabile in una dimensione in meno rispetto al resto del iperparallelepipedo (ovvero n>1; considererò più avanti il caso in cui n=0 e n=1).
Data una configurazione iniziale le configurazioni successive possibili sono finite (fissato il verso iniziale dello sguardo ogni baco può guardare in sole 2 posizioni differenti) e quindi se i bachi continueranno a guardarsi male all’infinito sicuramente si ripete ciclicamente una serie di configurazioni.
Ipotizzo che i bachi rossi si muovano in questa serie di configurazioni.
I bachi rossi che guardano in basso non possono muoversi come detto sopra. I bachi rossi che guardano verso l’alto possono fare al massimo una mossa prima di guardare verso il basso e non muoversi più.
Possono continuare a muoversi solo i bachi rossi che guardano verso il bordo basso.
Inoltre il bordo basso si può rappresentare in n-1 dimensioni, otterrei quindi un iperparalelepipedo in n-1 dimensioni nel quale i bachi si muovono all’infinito ma non è possibile per l’ipotesi 1.
Posso quindi cancellare tutto il bordo basso (infatti nessun baco appartenente ad esso continua a muoversi dopo un certo istante) ottenendo una griglia $ (a_1-1)*a_2*..*a_n $ nella quale i bachi continuano a muoversi all’infinito.
Per discesa (continuando a toglire bordi bassi) ottengo una griglia $ 1*a_2*..a_n $ rappresentabile in n-1 dimensioni nella quale i bachi continuano a muoversi all’infinito, ma ciò è assurdo per l’ipotesi 1.
Quindi il numero minimo di dimensioni tali che i bachi vadano avanti all'infinito è 1 o 0.
In zero dimensioni (ovvero in una griglia 1*1) come già detto sopra il baco presente non ha nessuno da guardare in cagnesco.
In una dimensione, ovvero su una retta non si può andare avanti all'infinito (questo caso è già stato trattato nel problema Golbugs 2).
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"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
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