T-tetramini

[piever]

Quali rettangoli MxN (anche i quadrati sono rettangoli) possono essere tappezzati interamente e senza "sporgenze" esterne con tetramini a forma di T?
La risposta è banale, la dimostrazione un po' meno...

Buon lavoro!

[Marco]

Era già saltato fuori, e mi sembra di ricordare che la dimostrazione dei quadrati fosse fattibile, mentre per i rettangoli fosse molto complicata. Sei sicuro che la tua torni?

[enomis_costa88]

Faccio solo il caso in cui $ m=n $.

Claim: è possibile tappezzare tutto e solo in quadrato se e solo se n=4k.

1) se n=4k è possibile:
Trovo facilmente una configurazione che copra un quadrato 4*4.
Ora basta suddividere tutti i quadrati 4k*4k in quadratoni 4*4 e tassellarli singolarmente.

2) solo se n=4k è possibile:
Coloro a scacchiera il quadrato, sia la casa 1,1 nera.
Sia N il numero di case nere.
B il numero di case bianche.
Noto che se n è pari allora $ N=B $ se n è dispari $ N=B+1 $

Il tetramino a T può coprire o 3 case nere e una solo bianca o viceversa.
Sia C il numero di tetramini che coprono 3 case nere.
Sia A il numero di tetramini che coprono 3 case bianche.

Se tutte le case sono coperte avrò allora:
$ B=3A+C $
$ N=3C+A $
palesemente A;B;C;N sono interi.

per cui se n è dispari:
$ B+1=3C+A=3A+C+1 $
ovvero
$ C=A+ \frac{1}{2} $ che è assurdo.
Quindi se n è dispari non posso tappezzare il quadrato.

Se n è pari:
$ B=N=3C+A=3A+C $ da cui C=A
il numero di case totali risulta essere:
$ 2B=8A=n^2 $
per cui n se è intero risulta essere multiplo di 4 e ciò coclude la dimostrazione.

[piever]

@ Marco: si dimostra in maniera facile che un lato è divisibile per 4, per dimostrare che anche l'altro lo è, è in effetti un po' laborioso, io ho una soluzione abbastanza orribile, volevo vedere se ce n'era una migliore (con le colorazioni non mi sembra ci si riesca)

@enomis: dimostrazione diversa dalla mia, ma giusta: con n=m si può dimostrare anche vedendo che di sicuro $ 2|l $ (l è il lato del quadrato), perche $ 4|l^2 $
Colorando una colonna sì e una no e vedendo che i pezzi in verticale sono pari (in quanto sulle colonne colorate ce n'è lo stesso numero che sulle colonne bianche, rigirando il quadrato e vedendo che anche i pezzi che prima erano in orizzontale si dimostra che $ 8|l^2 $ per cui $ 4|l $

[Marco]

@ Marco: si dimostra in maniera facile che un lato è divisibile per 4, per dimostrare che anche l'altro lo è, è in effetti un po' laborioso, io ho una soluzione abbastanza orribile, volevo vedere se ce n'era una migliore (con le colorazioni non mi sembra ci si riesca)

Ok. Diamo per assodato che il numero di pezzi è pari, e quindi il numero di quadretti è divisibile per 8. Già non è ovvio escludere il caso dispari x multiplo di 8.

Credo però che con le tue colorazioni per righe pari/dispari, almeno il dispari si elimina. Boh, ci penso...

M.